Di Paolo Ruffini • 4^3 



y_ _}_ 1 esililo , e allora replicp la permutazione seconda ; ne 

 nascerà un risultato T' a = T' i = T' , il quale è chiaro , 



che conterrà la x nel luogo ultimo , e la x '■'neiran- 



tepenultimo . Farò 1' operazione medesima riguardo alla 



X "''^^ , se questa pure esiste in T' 2, tra le prime « -f- f3 ra- 

 dici , e ci verrà egualmente un risultato T' 3 avente nell' ul- 

 timo luogo la X '^^^ , nel penultimo la .r^ * , e noli' ante- 

 penultimo la x^ \ Seguitando ad operare nella stessa guisa, 

 se nei primi « -f- /j luoglii dei successivi risultati T'3, T'4» 



ec. T' ( y — £ — 1 ) vanno esistendo le radici x , at ^ , 



ec. X ^ vedesi , che otterremo in fine un risultato 

 T' ( y — i ) ■> iì quale conterrà negli ultimi y — s luoghi le 



radici a-^'^+'^ x''-^'\ ec. x''-'^'''' . 



Supponghiamo ora, che in T'{y — s) esista la x '^'^'^^'^^' 

 tra le ultime y radici della permutazione seconda ; in questa 

 ipotesi replico tale seconda permutazione, finché la x 't?— ei-'J 

 venga ad occupare il luogo indicato dal numero oc -\- (5 i al- 

 lora mediante la permutazione prima porto la radice medesi- 

 ma fuori di questo in uno qualsivoglia dei luoghi i.°,ii.'^, ec. 

 « esÌ77io , e chiamo T' ( y — s -f- i ) il risultato , che ne de- 

 riva . Poiché nel portare la x^ "^'^"'^'^ nel luog,o x-\- §esiino 3 

 la permutazione seconda à portate negli ultimi luoghi delle 



radici diverse dalle ^<'^-^'^, a:^^+^> , ec. x^^-^'^'\ ripeto nella 

 funzione T' ( y — i -4- i ) la permutazione medesima , fin- 

 ché tutte queste radici escano dai luoghi ultimi j e vi torni- 



no le X ', X , ec. X ' , il che , e manifesto , che 



potrà sempre farsi. Ciò ottenuto, e chiamato T" (y — ì -+- i) 



il risultato, avremo in questo la x ^"'"'"'^ tra le prime «+i3 

 radici ; dunque potrò toglierla , e condurla nell' ultimo luo- 

 go , come ho fatto di sopra delle altre x^^^'^, Ar''^'***\ ec. 

 X '^' ^ il risultato, che ne viene , chiamato T'" ( y — £ + x ) 



P p p a o con- 



