Di Paolo Ruffini. Sai 



eseguisco nelle ii , t tutte le possibili permutazioni fra le 



.r' , x" , x" , ec. X " , chiamo u ,t'-^u\t"\,u"\ t"'\,GC u^ ^ t^ 

 tutti i risultati clie ne vengono fra loro corrispondenti , li so- 

 stituisco nel trinomio (T), moltiplico insieme le quantità 



Z^+t'Z+u',Z^-\-t'%+u\Z'-¥-t"'Z-^u\ ec. Z' A- i^^'^ Z + J^\ 

 e uguagliato allo zero il prodotto, onde mi venga l'Equazione 

 (V) Z'' -f- a Z'f-' -f- hZ'^~^ -^cZ'^"' -\- ec. - o, 



colloco nei coefficienti a, b. e. ec. in luogo delle u\ ?', u", t", 

 ce. i rispettivi valori in x' , x' , x"\ ec. Ciò fatto , è mani- 

 festo che questi coefficienti « , h , e , ec. divengono tante 



funzioni della £orma.f{x', x" ^ x" , .... ;r '"'*), e che però 

 sono determinabili razionalmente con i coefficienti A, B^, C, 

 ec. della data (A) : eseguita pertanto una simile determina- 

 zione , sieguo ad operare come nei (n. Sg, e seg. )j e quin- 

 di divìso per (T) il primo membro della (V) ^ ed avuto 1' a- 

 vanzo Psr + y j in cui P — /(/) (//), Y = /' (/) (w) , sosti- 

 tuisco in luogo della //, il valore u , osservo se iu ima delle 

 quantità /(/) («') , /' {t) (u) tutti i coefficienti delle t°j f , t^ 

 ec. vanno per questo a divenire zero, o nò : se sì , 1' altra,, 

 che rimane, folta zz o pel ( i .° n.° 44 ) ^^ à^a^r-à. tutti i va- 

 lori della t corrispondenti ad lì \ se nò, cerco fra le f(0(")f 

 f {t) (it) il massimo comun divisole, considerando incognita la 

 t, e come nei ( cit. n.' ) avrò infine la Equazione ^ ~ F (z/}^ 

 oppur r altra t'' -\-Yit -\-Y2 ~ e , oppure la terza /^+Vi^* 

 4- Ym -\- V3 zz o , ec. , secondo che il valore della u, che 

 si prende in considerazione^ è disuguale dagli altri tutti, op- 

 pure ne uguaglia un solo, o ne uguaglia due, ec Mediante poi 

 r Equazione in u già determinata potremo come nei ( n.' 3g, 

 40 ) eliminare dai coefficienti F (u) , Vi , Va , V.3 , ec. tutte 

 le potenze della u di grado >/> — \ , e ciò fatto, la ? n F (/;) 

 si convertirà nella (N) , gli altri coefficienti Vi , V2 , V3 , 

 ec. acquisteranno delle forme a questa somiglianti . 



Queste ultime Equazioni, nei coefficienti delle quali man- 

 cano le potenze della u di grado "> p — i , come ancor le 



Tomo IX. V v v al- 



