56 a Della impossibilita.' della quadratura ec. 

 3 . Siccome però a pigliar due tali medie bisogna uscire dal- 

 la geometria piana , la determinazione di / (quando x ■=. 



n-— i 



— ^— — , non sarà piìi possibile a tale geometria : ma non per 



ciò lascierà y di essere funzione algebraica di x . Solo il pro- 

 blema non sarà più del secondo ^ ma del terzo grado : come 

 sarà del quinto , se il numero primo fattore del denomina 

 tore sarà 5 . E così proseguendo per tutti i numeri primi 

 avremo una serie infinita di casi, in cui y non lascierà di 

 essere funzione algebraica , benché d' ordini successivamente 

 sempre superiori , che vanno sempre accrescendo difficoltà 

 air infinito j la quale potrà superarsi tanto più oltre ^ quan- 

 to sarà più perfetto ed esteso il saper nostro . 



4. Ma se fo A" = •/ 2, j allora i progressi , che può fa- 

 re la scienza j non ci possono più dare speranza alcuna , 

 mentre sappiamo che l' espressione di y/2. con numeri finiti 

 è dimostrata impossibile assolutamente, e che a essendo una 

 linea , a/2 è un limite , al quale con parti aliquote di a si 

 può bene andar presso quanto si vuole , ma giunger non 



ma' . Il 474'^'5i3iì termine della progressione aritmetica re- 

 cata dianzi in esempio differisce così poco da ^2., che appe- 



na se ne può dir minore; onde «( - /^'''^'^^' , che «li cor- 



^ \ Ci / ° 



risponde nella progressione geometrica , sarà prossimo a y =: 



f.y ^; ed è chiaro che se ne potrà avere uno quanto si voglia 

 più appressante con «a maggior numero di medie pro- 

 porzionali successive . Ma nulla gioverebbe saper costrur- 



^ (tz— i):2,"'.3'.5'. &c. 

 re cii—j ; perchè né più, né meno 



non si potrebbe mai avere né un termine della progressione 



aritmetica^: -/a , nò mio della geometrica = cA — j . E lo 



ctt-s- 



