3o Sopra un Pkoblema Trigonometrico 



m(m — 3) , , X 



—^ -or~^ A-* COS."--» &c. (36) 



i.a m 



per mezzo di questa equazione si avrà il valore di cos.'- , 



algebraicamente , cioè indipendentemente dalle tavole ", ma 

 quali sono tutte le radici di lei ? 



Essa è dedotta dalla formola ( cos..r i!i y^ — i sen.r) 



=: COS. — ± 1/ — I sen. —, in cui cos..'»; e cos. >- ' non possono 

 m m m 



essere generalmente negativi n° ai ; perciò la formola (ai) 



non può rappresentare nella sua generalità tutte le radici della 



(36), e bisogna escludervi, come al (n^aa), tutti i valori negativi 



di n , e quindi si ha cos. per 1 espressione generale 



di tutte le radici in quistione : risultato evidente, e che non 

 parmi così chiaro , né dimostrato a priori nel Gap. XIV 

 dell' Introduzione dell' Immortale Eulero . 



Un' altra osservazione non posso passar sotto silenzio , 

 ed è , che la formola (ai) dà nella sua generalità tutte le 

 radici della (36) nel caso solamente di m dispari : la ragio- 

 ne a priori n'è, perchè esiste la seconda delle formole (3o), 

 o ciò eh' è lo stesso , perchè l' equazione (36) resta la me- 



desima j cangiandovi cos. a' e cos. >- in — cos.at e — cos."-' ; 

 ° m m 



allora i coseni negativi, oltre i positivi della (ai), essendo 

 ammissibili, e sunuiltipli nello stesso tempo dell'arco jr, essi 

 tutti devono soddisfare alla (36) : col fatto poi , paragonan- 

 do Io sviluppo de' coseni della (ai) con quelli della formola 



2.n7r±x , ,. . . , ,,. , 



COS. , m essendo dispari, si trova che quelli, che non 



m 



sono mutuamente identici di primo tratto, nientemeno si e. 

 guagliano fra di loro , perchè con segni contrarj appartengo- 

 no ad archi supplementarj 1' uno dell' altro : ne sopprimo il 

 calcolo per brevità . 



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