Di Pietro Franchini . a55 

 di h l'. ec. si adattino al bisogno del calcolatore , il quale 

 nel caso delle radici eguali ,, vuole tanti termini affetti dalie 

 rispettive costanti arbitrarie, quante sono le radici eguali e 

 non più, per completar con es$i l'integrale ottenuto colla 

 forinola generale. Per riuscire in f[uesto, D'Alembert suppone 

 indefinitamente picco|e le quantità k, k\ lì' ec. ; nel caso di 

 due radici eguali trascura le potenze di k superiori alla pri- 

 ma j nel caso di. tre radici eguali trascura le potenze di k e 

 di K superiori alla, seconda , e così in seguito . Questo, me- 

 todo a prima vista comparisce inesatto e precario , ma pene^ 

 trando ben' addentro nello, spirito del medesimo si rileva, che 

 dando ai coefficienti e, ci , ca ec. spettanti alle radici egua- 

 li , certi valori opportunamente modificati con alcune C£uan- 

 tità indeterminate e coli' infinito di diversi ordini, si rileva, 

 dissi , che il medesimo è sufficientemente conforme ai veri 

 principj dell' Analisi . Non può peraltro negarsi , che in esso 

 I incontrisi un non so quale imbarazzo , derivante dalla combi- 

 nazione degli infiniti e .delle quantità evanescenti, e che sia 

 inoltre alquanto indiretto .. Per esempio nel caso di tre radi- 

 ci eguali, perchè, svaniscano le potenze di kelì superiori alla 

 seconda, convien porre c=f- — oo +(/j — i) co* , ci = cq — /^ co* , 

 C2,:= co*, dove k è un'indeterminata, ed y un numero finito. 

 !N.° a.* Sieno infatti a , ai , aa. ec. le radici delT equa- 

 zione ausiliare,, e e, ci , ca CTT.- n costanti arbitrarie. L'in- 

 tegrale completo di un.' equazione lineare dell'ordine re, es- 

 ra i sendo espresso per y^^=^ ca' -\- ci ai'' -\- cci a^." ^ . 



"*^-hc(ii' — i) a [a — i) . . . (A), siccome a=.ai=a'2, sarà 



I _y = a"" (e + e I -I- Ci) -4- c3 a^" . . . H- e' (/z — i) a [n — i ) , do- 

 ve mancano due costanti arbitiarie .. Pongasi ai=a-^k ed 

 ao.z=.a-\-k\ e siccome si ha {a-A-k)" =:.a''{i->(-mxk -k-iix''k'^-A-p x^P ec.) 



{a'\-ky=a''{ I +m'xìc ^n x^k^-^p x^k:^&c.) 

 jroverrà y^ = ca" ■\- ci a" ( i -+- m xk -f- nx'' k'^ -hjjx^ /J ec. ) 

 ca. a" ( I + m'xk' ~\- ri x'^ k'' -\- p' x^ k'^ ec ) -+- c3 a3' ec 

 Facciasi e 4- CI +ca=(/j. mcik-\-m'c2.k'=di , nc\k^-\-n'c2,k!^ 



