46a Su DI ALCUNE SINGOLARI PROPRIETÀ' CC. 



come prima, die svilujipando la potenza (3-i)^ tutti i termi- 

 ni iuterrnedj , fuori dei primo e dell' ultimo 3^ — i , sono se- 

 paratamente divisibili per^, onde ommettendo questi termi- 

 ni internieiij , e ritenendo solamente il primo e l' ultimo, se 

 a'— a , cioè (3— i)^ — 2 è divisibile per/?, anche 3' — i — a 

 cioè 3' — 3 dovrà essere divisibile per j9 . 



Dall' es. er 3^ — 3 divisibile per p, se ne dedurrà ora col 

 medesimo raziocinio che dovrà esser divisibile per p anche 

 4^ — 4' * quindi anche 5^" — 5, e cosi procedendo di mano 

 in matiOj si giugnerà lìnalraente a provare che dovrà esser di- 

 visibile per p anche N/? — N , qualunque sia il numero N ; 

 eh' era appunto il teorema che ci eravamo proposti di dimo- 

 strare . 



Che se si supporrà che il numero proposto N non sia 

 divisibile per />, mettendo N' — N sotto la forma N(N''~' — i), 

 siccome il numero primo p non è risolubile in fattori, e dee 

 dividei e ]N(N^~' — 1) , non dividendo il fattore N di questo 

 prodotto, dovrà di necessità dividere l'altro fattore N''""'-! i 

 cir è appunto il teorema di Fermat qui sopra enunciato . 



//.' PAR TE. 



La dimostrazione delle proprietà che ci presentano i 

 coefficienti della potenza n del Binomio a±b , allorché re è 

 intiero e positivo, ci ha naturalmente condotti alla conside- 

 razione di un' altra singolare proprietà de' medesimi coeffi- 

 cienti 5 allorché essi vengono rispettivamente moltiplicati per 

 le potenze ni de' termini di una qualunque progressione arit- 

 metica e, c + J,cH-aJ,c-|-3</. . . e -V- nel . La somma 

 dì tutti questi prodotti si trova sempre = o , tutte le volte 

 che sia ni < n , ed il Binomio sia a — b ; ed essendo m = 

 ovvero > re per il Binomio a — b, ed in tutti i casi per il 

 Binomio a,-{-b, la somma de' detti prodotti con una sempli- 

 cissima e irenerale formola potrà sempre assegnarsi . La dimo- 

 strazione di questi teoremi 5 i quali sono di grandissimo uso 



nel- 



