Di CroACHiNO Pessuti . ^ji 



Je' coefficienti di (a-i-b)" moltiplicati rispettivamente per le 

 potenze di qualunque grado de' termini di qualunque pro- 

 gressione aritmetica e , e -\- d , e -\- 2.d , e -\- 2d . ^ . e -\- nS. . 



Così per es. i coefficienti di {a-\-hy essendo 14-3 +-3-t-r , 

 se questi si moltiplicheranno rispettivamente per le terze po- 

 tenze de' termini della progressione aritmetica i , 3, 5, 7, 

 la nostra formola darà per la somma de' prodotti gli m -t- i 

 ovvero ra+i cioè quattro termini i'.i5-f(i*-!-i.3-h3*).3.2,.a* 

 H-(.H-3 4-5).3.a.a'.a+3.3.r.2.3 = 8+3 i2;+43i-f 48=800. 



Che se invece delle terze si moltiplichino i medesimi 

 coefficienti per le quinte potenze de' termini della stessa 

 progressione aritmetica i , 3 , 5 , 7 , si avrà per la somma 

 de' prodotti la somma de'^seguenti re + r cioè quattro termini 

 • I^a^^-( i^+i-'.3-hi\3^4- 1.33+3^) 3.a''^-(I5^-l^3+I.3"^- 

 3^4-I^5^-S^+3^5 + 3.5^-^- 1.3 5.). 3.a.3^a+(I'^- 1.3 4-3^+1.5 

 -f-5'+i.7-|-7"4-3.5+ 3.7+5.7)3.3. i.a'=3+iai.24 -1-330.48 4- 

 170.43= 26913 ► 



Abiiiam. detto esser grandissimo V uso di questi teoremi 

 nella teoria delle diffiretize finite , ed in quella de' numeri 

 primi. Per darne un rapido cenno supponghiamo per modo 

 . dì esempio che si cerchi 1' espressione generale della diffe- 

 renza /2."'»» di x'" neir ipotesi che sia costante la differenza 

 A^ di X . Richiameremo alla memoria quel notissimo teore- 

 ma il quale c'insegna eh' essendo z, z , z' \ z'' . . . z " , 

 2 "~~^^ , s" i successivi valori di una variabile z, la differenza 



, , , n.ji — I , 



njima di z verrà espressa da z ' — nz^ ' ■+■ .. ^ z^ ..... 



I. . 2, 



.... rt z, d'ove (n) , (re-i), (^—a) ec. sono indici e non espo- 

 nenti . Avendosi dunque nel nostro caso in vece di z , z' , 



Il II, (n — 3) («— i) (n) . . . , . ,. „ . ^ 



z , z . . . z ', z , z ' i successivi valori di x , cioè 



(e Wi A '■)■", si avrà perciò AV;=(t + /?,Ax)'"-/?(t'+ /z^i.Aj:).'" 



n n — I , ,„ n\fi — i.n a . 



4 (^+/i-a.Aj)'"- ■ T— (^+ft— S.Aar ±x''. 



Ora 



