^ Ui Gioachino Pessuti . ^yS 



F termine seguente risulterà dalla moltiplicazione di a,"""""""' per 



— hx e per la somma de prodotti 



I . a . 3 



de' coefficienti i -- n -\- — -- ec moltiplicati per le po- 



1 * ii 



tenze re -t- i di re , re — i, re— a , ec. , somma da trovarsi fa- 

 cilmente coi nostri teoremi ; e così di mano in mano , ve- 

 dendosi chiaramente con qual legge progrediscano i termini 

 superstiti della serie , i quali debbono esprimere il desidera- 

 to valore di A'x" , . 



Dall'andamento di questa serie si raccoglierà facilmente 

 1° Che la ditì'erenza dell' ordine re di x" non contiene veru- 

 na potenza di ^x inferiore alla potenza re , né veruna po- 

 tenza di X superiore alia potenza x"'~" . 3.° Che se sarà 

 n "> in 5 la diffeirenza n.^'ima di ^"» gaia sempre ::= e . 3." Che 

 se n = in^ la differenza re."'"'^' di x"" si ridurrà alla quantità 



costante m.m — J .m — a 3 . a . i . A^"'- 4'° ^^'^ avendosi 



la funzione razionale senza divisori variabili Ax" ~\-'S,x^Cx'^ -\~ 

 ec. , la differenza n/"^'^ della medesima sarà parimenti nulla se 

 sia re maggiore di qualunque degli esponenti m ^ p , q ec _, 

 sarà una quantità costante se sia re eguale ad uno o più d'uno 

 de' maggiori fra gli esponenti ;re , /> , y ec. , e potrà infine 

 sempre determinarsi per mezzo della data serie, quando che 

 sia n minore di alcuno de' medesimi esponenti ec. ec. 



Potremmo oia passare a dare molte altre applicazioni 

 della formosa generale del nostro problema , e de' teoremi 

 che da essa se ne sono dedotti , e soprattutto potremmo far 

 vedere di quanto grande uso essi possono essere nell' astrusa 

 teoria de' numeri primi . Molto facilmente per es. per mezzo 

 dei detti teoiemi potremmo dimostrare quell' elegante teore- 

 ma di cui Warìng attribuisce la prima scoperta a Wil on , 

 e che Lag-ange fu il primo a dimostrare , cioè eh' essendo p 



Tomo XI. O o o un 



