8 Erster Abschn. Einfache Systeme auf einer Kreiszylinderfläche. 



Bei unseren Betrachtungen gehen wir nun von einer Frage 

 aus, die große Ähnlichkeit mit dieser letzten Aufgabe zeigt und 

 welcher wir folgende Fassung geben m()chten: 



Welches sind die Eigenschaften der regelmäl'ngen 

 Punktsysteme auf einer Kreiszylinderfläche, wenn man 

 unter einem „regclmäfMgen Punktsystem" ein solches ver- 

 steht, bei welchem die von jedem Systempunkt aus nach 

 allen übrigen Systempunkten gezogenen Strahlenbüschel 

 unter einander kongruent sind? 



Während jedoch bei der allgemeinen Frage, wie sie der 

 Theorie der Kristallstruktur zugrunde liegt, auch die Fälle be- 

 trachtet werden, bei welchen unter den Figuren, die durch die Ver- 

 bindung der Punkte des Systems entstehen, „symmetrische" vor- 

 kommen, so lassen wir die letzteren Fälle aus dem Rahmen unserer 

 Betrachtungen und nehmen also an, daß die verschiedenen 

 Strahlenbüschel zur Koinzidenz gebracht werden können. 



§ 2. Haupteigenschaften. Denkt man sich ein bis ins 

 Unendliche fortgesetztes regelmäßiges Punktsystem auf einer Kreis- 

 zylinderfläche und nimmt man dazu eine zweite, der ersten ganz 

 gleiche Fläche mit gleichem Punktsystem, dann kann man die 

 letztere mit der ersteren so zur Koinzidenz bringen, daß alle Punkte 

 der zwei Systeme sich gegenseitig decken. W^ir denken uns eine 

 solche Koinzidenz zustande gekommen und benennen jetzt die Punkte 

 des ersten Systems mit den Buchstaben (?o, b^, Cq usw., dagegen die 

 entsprechenden des zweiten Systems mit a, h, c usw.; wir betrachten 

 weiter das erste Punktsystem als fest, das zweite dagegen als be- 

 weglich. Man kann dann den Punkt a des beweglichen Systems 

 stets nach einem Punkt b^^ des festen übertragen denken und es 

 muß alsdann wieder möglich sein, gemäß) der Definition eines regel- 

 mäßigen Punktsystems auf einer Kreiszylinderfläche, alle anderen 

 Punkte des beweglichen Systems mit Punkten des festen zur Koin- 

 zidenz zu bringen. Ist diese Stellung eingetreten, dann werden 

 auch die beiden Zylinderflächen sich wieder decken. Einen solchen 

 Bewegungsvorgang werden wir eine „Deckbewegung" nennen. 



Jeder Platzwechsel der beweglichen Zylinderfläche kann nun 

 nach dem Lehrsatz von Chäsles aufgefaßt werden, als sei er zu- 

 stande gekommen durch eine Schraubung. Da die Achse dieser 

 Zylinderfläche vor und nach dem Platzwechsel mit derjenigen der 

 festen zusammenfällt, so muß diejenige Schraubenbewegung, welche 

 ,, Deckbewegung" ist, entweder die Achse entlang stattgefunden 

 haben, oder es muß möglich sein, sie zu zerlegen in eine Drehung 

 über einen Winkel von 180^ um eine Linie, die senkrecht zur 

 Achse steht, und in eine Schraubenbewegung, welche sich diese 

 Achse entlang erstreckt. Wir werden die Fälle, bei denen diese 

 zwei Arten von Deckbewegungen auftreten, einzeln betrachten. 



L Nehmen wir zuerst an, daß alle Deckbewegungen in dem 

 Punktsysteme Schraubenbewegungen der Achse entlang sind. Denken 

 wir uns dann den Punkt a durch eine Drehbewegung von dem 

 Punkt rt'o aus nach einem beliebigen Punkt h^ übertragen, so muß» 

 der Punkt b, welcher sich erst mit b^ deckte, infolge der Schrauben- 

 bewegung mit einem anderen Punkte c^ des festen Systems zusammen- 

 fallen. Hieraus folgt sofort, daß die Punkte r/^, b^, c^ auf ein und 

 derselben Schraubenlinie gelegen sind, und zwar so, daß a^b,^ -^^ b^c^. 



