Kap. I. Regelmäßige Punktsysteme auf einer Krcisz3'linderfläche. 9 



In gleicherweise folgert man nun, daß noch ein vierter Punkt d^ 

 auf der verlängerten Schraubenlinie liegen muß, so daß </o^ü — '^o'^o ist. 

 Wenn man in dieser Weise weiter schließt, ergibt sich, daß auf der 

 verlängerten Schraubenlinie, die durch a^^ und ^^ gezogen werden kann, 

 eine unendliche Anzahl Punkte mit untereinander gleichen Ab- 

 ständen gelegen sein muß. Zieht man nun aber in Betracht, daß, 

 sobald a mit b^ zusammenfällt, auf den Punkt öq infolge der Deck- 

 bewegung ein Punkt z fallen muß, so ergibt sich daraus, daß der 

 Punkt Cq ebenfalls auf der Schraubenlinie liegt, die durch a^ und «^^ 

 gezogen ist. Auch auf der nach der anderen Seite verlängerten 

 Schraubenlinie wird man also Punkte antreffen, die gleiche Abstände 

 von einander haben. 



Da der Punkt b^ ganz beliebig angenommen wird, so folgt 

 hieraus, daß man eine unendliche Anzahl solcher Schraubenlinien 

 mit regelmäßigen Punktreihen in dem System wird nachweisen 

 können. 



Es besteht natürlich die Möglichkeit, daß die Schraubenlinie 

 durch die Punkte a^ und b^^ alle Punkte des Systems umfaßt; aber 

 im allgemeinen wird dieses nicht eintreffen, und es wird anzunehmen 

 sein , daß Punkte außerhalb derselben liegen. Wählen wir den 

 Punkt g^, der von allen diesen Punkten am dichtsten an der be- 

 trachteten Schraubenlinie liegt, und schrauben wir dann den Punkt a 

 von «0 3.US nach g^, so werden wieder alle Punkte zur Koinzidenz 

 gebracht und es folgt daraus sofort, daß auch durch den Punkt g^ 

 eine Schraubenlinie mit regelmäßiger Punktreihe gehen muß, die 

 völlig der zuerst beschriebenen Schraubenlinie gleich ist und mit 

 ihr parallel läuft. Weil nun g^ so nahe wie möglich bei der ersten 

 Schraubenlinie angenommen wurde, so kann zwischen den beiden 

 betrachteten Schraubenlinien auch kein Punkt des Systems an- 

 getroffen werden. Die jetzt gefundene Schraubenlinie durch g^ wird 

 bei der Übertragung von <'?nach^o gleichfalls mit übertragen werden 

 und also mit einer neuen Punktreihe zusammenfallen müssen, wenn 

 sie sich nicht mit der Schraubenlinie durch a^ deckt. Wenn man 

 in dieser Weise fortschließt, kommt man, wie leicht einzusehen ist, 

 zu folgendem Resultat: 



Alle Punkte eines regelmäßigen Punktsystems kann 

 man ordnen auf Systemen von Scharen untereinander in 

 gleichen Abständen parallel laufender Schraubenlinien, 

 und zwar liegen die Punkte auf diesen Linien wieder in 

 untereinander gleichen Abständen, 



Es sind unendlich viele verschiedene Systeme von 

 parallelen Schraubenlinien anzugeben, worauf die Punkte 

 zu ordnen sind. Wird die Anzahl solcher Schraubenlinien 

 durch m bezeichnet, dann ist /// eine ganze T.2i\\\, welche 

 alle möglichen Werte besitzen kann. 



2. Betrachten wir nun den Fall, bei welchem die Deckbewe- 

 gungen sowohl einfache Schraubenbewegungen der Achse entlang 

 sein können, als auch solche, welche zusammengesetzt sind aus einer 

 Drehung über einen Winkel von ISO^ um eine Linie senkrecht auf 

 der Zylinderachse und aus einer Schraubenbewegung der Zylinder- 

 achse entlang. Setzen wir also den Fall, daß die Deckbewegung, 

 bei welcher a nach einem Punkt b^^ übertragen wird, eine solche 



