10 Erster Abschn. Einfache Systeme auf einer Kreiszylinderfläche. 



der zweiten Art ist. Die Deckbewegung von a nach einem be- 

 liebigen anderen Punkt c^^ kann dann sowohl von der ersten als von 

 der zweiten Art sein. Nehmen wir an, daß das erste der Fall wäre, 

 dann muß, nach dem unter 1 Besprochenen, auf der vSchraubenlinie 

 durch a^ und r^ eine Punktreihe vorhanden sein, deren Punkte die 

 gleichen Abstände von einander haben. Bei der Deckbewegung, 

 die a nach b^ bringt, muß dann aber diese Punktreihe mit einer 

 solchen durch b^ zusammenfallen. Da nun eine Schraubenlinie in- 

 folge einer Drehung über 180^ um eine Linie senkrecht zur Zylinder- 

 achse übergeht in eine parallele vSchraubenlinie, so folgt hieraus, 

 daß durch b^ eine Schraubenlinie wird gezogen werden können, 

 parallel derjenigen, welche a^ und c^^ verbindet, und daß darauf eine 

 Punktreihe vorhanden ist, deren Punkte dieselben Abstände wie 

 diejenigen der Punktreihe durch a^ und c^ haben. 



Auch in diesem Falle werden also die Punkte des Systems 

 alle auf Scharen paralleler Schraubenlinien gelegen sein, und auf 

 jeder dieser .Schraubenlinien werden die Punkte untereinander die- 

 selben Abstände zeigen. Daraus folgt weiter, daß man nach Drehung 

 über einen Winkel von ISO'' um eine Linie senkrecht zur Achse 

 notwendigerweise ein System erhalten muß, das von dem ursprüng- 

 lich festen nicht zu unterscheiden ist; dann müssen aber auch alle 

 Punkte durch eine einfache Schraubenbewegung der Achse entlang 

 zur Koinzidenz gebracht werden können. Hiermit ist dann bewiesen, 

 daß dieser Fall mit dem unter 1 betrachteten vollkommen überein- 

 stimmt und von diesem nur scheinbar verschieden ist. 



Nun gilt dieser Schluß nur unter der Voraussetzung, daß 

 die Deckbewegung, wodurch a nach c^ übertragen wird, eine von 

 der ersten Art ist; es besteht jedoch die Möglichkeit, daß sie von 

 der zweiten Art ist, so wie die, welche a nach b^ bringt. In diesem 

 Fall wird dann aber die Deckbewegung, die b nach c^ überträgt, 

 von der ersten Art sein. Dann verhalten sich also die Punkte b^ 

 und c^ a^ gegenüber ebenso wMe im vorhergehenden Fall die Punkte 

 «0 und Cq b^ gegenüber, und da die drei Punkte beliebig ausgewählt 

 sind, können sie auch mit einander vertauscht werden und damit ist 

 auch diese Voraussetzung auf die vorige zurückgeführt. 



Der Schluß, zu welchem wir bei Fall 1 kamen, gilt 

 also allgemein für alle regelmäßigen Punktsysteme auf 

 einer Kreiszylinderfläche. 



Es sei hier darauf hingewiesen, daß die Ordnung der Punkte 

 in gleichen Abständen auf einer Schar paralleler Schraubenlinien, 

 die mit untereinander gleichen Abständen auf einer Zylinderfläche 

 angebracht sind, den Ausgangspunkt bildete für die Betrachtungen 

 der Gebrüder A. und L. Bravais i) in ihrer klassischen Abhandlung 

 über die Anordnung der Blätter bei höheren Pflanzen. Aus ver- 

 schiedenen Gründen, wie sich später deutlich zeigen wird, erachtete 

 ich es für wünschenswert, die eingangs aufgestellte, mehr allgemeine 

 Auffassung dafür einzusetzen. 



§ 3. Einteilung. Aus der Betrachtung, die uns zur Er- 

 kennung des Wesens der regelmäßigen Punktsysteme auf einer Kreis- 



1) Essai siir la disposition des feuilles ciirviseri6es par M. M. L. et A. Bravais. 

 Annales des Sciences Naturelles 2''"'"^ Serie, T. VII (Botanique), 1837, p. 42 — 110. 



