12 Erster Abschn. Einfache Systeme auf einer Kreiszylinderfläche. 



In diesem Abschnitt wird ausschließlich von den 

 „einfachen" Punktsystemen gesprochen werden; von den 

 „zusammengesetzten" wird erst später die Rede sein. 



§ 4. Eigenschaften der einfachen Systeme. Man nehme 

 einen beliebigen Punkt a eines einftichen Systems und ziehe durch 

 diesen Punkt den horizontalen Kreis auf der Zylinderfläche i), so ward, 

 nach der Definition einfacher Systeme, auf diesem Kreis kein einziger 

 anderer Punkt des Systems vorkommen. Man suche weiter den 

 Punkt b, welcher in nächster Nähe des Kreises gelegen ist, was 

 stets möglich ist, weil nicht mehr als ein Punkt in gleichem Ab- 

 stand über dem Kreise vorhanden sein kann. Man kann nun n 

 und h durch eine Schraubenlinie verbinden und zwar kann das in 

 unendlich verschiedener Weise geschehen, je nachdem man ein oder 

 mehrere Male die Zylinderfläche umläuft, bevor b erreicht wird. 

 Unter allen den Schraubenlinien gibt es jedoch eine, bei welcher die 

 Verbindung von a und b die kürzeste ist, w^elche vorkommen kann. 

 Wenn wir weiterhin von einer Schraubenlinie, welche zwei Punkte 

 verbindet, sprechen, so ist immer diese letzte gemeint. 



Die Schraubenlinie durch a und b muß nun durch einen Punkt c 

 gehen, welcher ebenso hoch über b liegt als b über <?, während inner- 

 halb des Flächenteiles zwischen den horizontalen Kreisen durch b 

 und c kein einziger Punkt mehr angetroffen wird. Wenn man in 

 dieser Weise weiter schließt, so sieht man leicht ein, daß diese 

 Schraubenlinie alle Punkte des Systems umfaßt. 



Führen wir nun für den mathematischen Ausdruck „Schrauben- 

 linie" die botanische Bezeichnung „Spirale" ein, so ist also be- 

 wiesen, daß es bei jedem einfachen Punktsystem eine 

 Spirale gibt, die alle Punkte in sich schließt (in Wirklich- 

 keit unendlich viele, jedoch wird hier allein diejenige in Betracht 

 gezogen, welche die kürzeste Verbindung darstellt). Diese Spirale 

 heißt „Hauptspirale". 



Sobald es nun eine solche Hauptspirale gibt, kann man die 

 Punkte des regelmäßigen Systems fortlaufend numerieren, wobei 

 man irgend einem beliebigen Punkt die Nummer gibt. In 

 der Regel wird nur ein bestimmter Teil des unendlichen Systems 

 betrachtet und man gibt alsdann dem niedrigsten Punkt dieses 

 Teils die Nummer 0. 



Um von irgend einem Punkt in der Hauptspirale nach dem 

 auf dieser am nächsten liegenden zu kommen, muß man einen 

 gewissen konstanten Winkel um die Achse des Zylinders be- 

 schreiben. Man nennt denselben die Divergenz des einfachen 

 Punktsystems; sie wird bezeichnet durch den Buchstaben a. Indessen 

 benennt man mit dem Namen Divergenz auch den Bruch, welcher 

 angibt, den wievielten Teil der Winkel a von 360^ beträgt. Wir 

 werden, wenn nichts weiteres gesagt wird, der ersten Ausdrucks- 

 weise folgen. 



Ist nun die Steighöhe von der Tlauptspirale h und die Diver- 

 genz a von dem Punktsystem gegeben, so ist für eine gewisse 

 Zylinderfläche das einfache Punktsystem vollkommen bestimmt. 



§ 5. Systeme auf der abgerollten Zylinderfläche. Die 

 Vorstellung eines regelmäl'igen Punktsystems wird merklich ver- 



1) Wir nehmen die Zylindertläcbe immer als mit der Achse vertikal gestellt an. 



