14 Erster Abschn. Einfache Systeme avif einer Kreiszylinderfläche. 



einstimmen mit denjenigen, welche durch A. Bravais für das 

 genannte Punktnetz gefunden sind und die man bei diesem Ver- 

 fasser und in dem oben zitierten Werk von SchOnflies abgeleitet 

 findet. 



Man ist gewohnt, den Zylinder nach der Vertikale durch den 

 Punkt aufzuschneiden, sodaß dieser Punkt rechts und links auf 

 den Grenzlinien angetroffen wird. Jede Gerade, die mit einem 

 anderen Punkt des abgerollten Systems verbindet, entspricht also 

 auf der Zylinderfläche einer Schraubenlinie. Diejenige, welche 

 mit 1, 1 mit 2 usw. verbindet, stellt die „Hauptspirale" vor und man 

 findet die Divergenz, indem man das Verhältnis des horizontalen 

 Abstandes zwischen und 1 zu dem Zylinderumfang, d. i. die 

 Linie — 0, feststellt. 



§ 6. Sekundäre und konjugierte Spiralen. Jede andere 

 Spirale als die Hauptspirale, die eine Punktreihe enthält, heißt 

 „sekundäre" Spirale^). Denkt man sich o mit m verbunden, so 

 ist diese Schraubenlinie eine sogenannte w-zeilige Spirale, voraus- 

 gesetzt, daß zwischen o und vi kein anderer Punkt angetroffen wird. 

 Es ist leicht einzusehen, dal') vmter dieser Voraussetzung alle Punkte 

 des regelmäßigen Systems auf ^«-Spiralen (oder Zeilen) gelegen sind, 

 die parallel mit der erstgenannten laufen und untereinander gleiche 

 Abstände haben. 



Ebenso werden natürlich // ?z-zeilige Spiralen vorhanden sein, 

 auf welchen alle Punkte gelegen sind, wenn auf der Linie, die o 

 und // verbindet, zwischen o und n keine anderen Punkte liegen. 

 Denkt man sich nun zwei solche Spiralscharen gezeichnet, dann 

 müssen die Punkte des regelmäßigen Punktsystems zusammen- 

 fallen mit Schnittpunkten dieser Spiralscharen; darum braucht 

 jedoch noch nicht jeder Schnittpunkt dieser Spiralen ein Punkt des 

 Punktsystems zu sein. Man nennt nun die m und ??-zeiligen Spiralen 

 konjugierte Spiralen, wenn alle Schnittpunkte der betreffenden 

 zugehörigen Spiralscharen auch Punkte des regelmäßigen Punkt- 

 systems sind. Die Spiralscharen selbst heißen konjugierte Spiral- 

 scharen. 



Wir werden in erster Linie nachweisen, daß, wenn in einem 

 einfachen regelmäßigen Punktsystem auf einer Kreiszylinderfläche 

 die VI und /^-zeiligen Spiralen konjugierte sind, die Zahlen vi und ii 

 keinen gemeinschaftlichen Divisor haben. 



Um dies zu beweisen, erinnere man sich, daß, sobald eine fort- 

 laufende Hauptspirale vorhanden ist, eine Numerierung der Punkte 

 in dieser Spirale möglich sein muß und dann unmöglich zwei Punkte 

 dieselbe Nummer haben können. Man nehme nun an, daß die ;;/- und 

 ;?-zeiligen .Spiralen konjugierte Spiralen sind, daß aul)erdem eine 

 Hauptspirale da ist, daß aber vi und w durch dieselbe Zahl teilbar 

 sind. Alsdann kann man /// =^pk und n = qk annehmen, wobei k 

 den gemeinsamen Divisor darstellt, während / und q ganze Zahlen 

 sind. Der Schnittpunkt der vi- und w-zeiligen Spirale muß zusammen- 

 fallen mit dem Punkt vt/i^pqk- (siehe Fig. 2). Notwendigerweise 

 muß man nun auf der w-zeiligen Spirale einen Punkt finden, welcher 

 die Zahl pqk trägt. Man folge nun der durch diesen Punkt gehenden 



1) Wir verwenden hier und im Folgenden die Namen, wie sie von den Gebrüdern 

 Bravais (1. c.) eingeführt sind. 



