Kap. I. Regelmäßige Punktsysteme auf einer Kreiszylinderfläche. 15 



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«-zeiligen Spirale nach unten, dann ergibt sich sofort, daß, wenn 

 man darauf /-Punkte passiert hat, man einen Punkt auf der Linie 

 AA' erreichen muß, welche durch den 

 Punkt o horizontal gezogen ist, und dal') 

 man diesem Punkt die Nummer o zu geben 

 hat. In ganz gleicher Weise findet man 

 noch /('-Punkte, welchen diese Nummer 

 gegeben werden müßte, was in Wider- 

 spruch steht mit der Voraussetzung, daß 

 eine Hauptspirale und also eine fort- 

 laufende Numerierung möglich ist. 



Wenn die ///- und die w-zeilige 

 Spirale zugeordnet und w und ;/ 

 durch dieselbe Zahl teilbar sind, 

 ist also keine fortlaufende Haupt- 

 spirale möglich, während um- 

 gekehrt bei einer vorhandenen 

 Hauptspirale m und n nicht durch 

 dieselbe Zahl teilbar sind. 



Es gibt ein äußerst einfaches Mittel, 

 vmi sofort zwei konjugierte Spiralen in 

 einem System aufzufinden. Verbindet 

 man nämlich den Punkt o mit denjenigen 

 beiden Punkten m und //, die von allen 

 Systempunkten o am nächsten ge- 

 legen sind, so sind diese m- und 

 ;/-zeiligen Spiralen auch sicher konjugierte. Dies ist leicht einzu- 

 sehen, wenn man bedenkt, daß in diesem Fall innerhalb des Vierecks 

 <?, m, in-\-n, n (siehe 

 Fig. 3) kein einziger 

 Punkt desSystems vor- 

 kommen kann, denn 

 jeder Punkt innerhalb 

 desselben liegt in ge- 

 ringerer Entfernung 

 von den Eckpunkten 

 als o liegt von ;/, und 

 diese ist nach o m die 

 kürzeste Entfernung 

 zwischen Punkten im 

 ganzen System. Dem- 

 gemäß können ebenso- 

 wenig in den anderen 

 Parallelogrammen, in 

 welchen durch die m- 

 und /z-zeiligen Spiral- 

 scharen der Flächenteil zwischen den vertikalen Grenzlinien ein- 

 geteilt wird, Punkte angetroffen werden. 



Es besteht die Möglichkeit, daß die Punkte ;// und n beide in 

 gleichem Abstand von o gelegen sind, das ändert jedoch an unserer 

 Folgerung nichts. Außerdem besteht aber noch die Möglichkeit, 

 daß ein dritter Punkt / in gleichem Abstand wie die beiden Punkte 

 VI und n angetroffen wird. Es läßt sich sehr einfach beweisen, 



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