16 Erster Abschn. Einfache Systeme auf einer Kreiszylinderfläche. 



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daß in diesem Fall / = m-\-n oder = n — m sein wird. Man denke 

 sich rund um den Punkt o (siehe Fig. 4 u. 5), außer den Punkten 

 in, 11 und p auch die Punkte — ///, —n und — / gezeichnet. Es ist 



deutlich, daß das durch diese Punkte 

 Fi^ -H . gebildete Sechseck ein regelmäßiges 



mit dem Punkt o als Mittelpunkt 



sein muß, denn wäre das nicht der 



/ Fall, so würden sicher in dem Punkt- 



^^■m-hn System noch Abstände zwischen 



/ '\'., Punkten gefunden werden kleiner 



'\\ als om = 011 = op, was unserer Vor- 



j^TM. --- aussetzung widerspricht. Es muß 



i \- ' "" — -f, also p mit n + vi oder mit /; — in 



/; zusammenfallen, je nachdem die 



''/' Punkte m und n gelegen sind. Ist 



;V-7i p =z n-\- m, dann bilden die m- und 



die ?2-zeilige Spirale einen Winkel 

 von 120^ miteinander, welcher durch 

 die {m + n) - zeilige halbiert wird 

 (s. Fig. 4). Wenn aber p ^= n — m 

 ist, dann bilden die in- und die n- 

 zeilige Spirale einen Winkel von 

 60^ miteinander und dann fällt die 

 (/z — »/)-zeilige Spirale nach der Seite 

 der ?2-zeiligen und bildet damit auch 

 einen Winkel von 60" (s. Fig. 5). 

 Wir werden sehr bald sehen, daß 

 diese Eigenschaften für unsere 

 weiteren Betrachtungen von großem 

 \'\ ,' "\ // Interesse sind. 



-n-t-m. § 7. Windungsrichtung 



der Spiralen, sekundäre Di- 

 vergenz, enzyklische Zahlen. 

 Weiterhin wird wiederholt die 

 Rede von der Richtung der Spiralen sein und weil hierüber insofern 

 eine gewisse Verwirrung herrscht, als die Mathematiker das links- 

 gewunden nennen, was die Botaniker und Zoologen als rechtslaufend 

 bezeichnen, so ist es nicht ohne Belang, genau zu präzisieren, was 

 wir unter links- und rechtslaufend verstehen wollen. Man denke 

 sich, um die Richtung einer Schraubenlinie zu bestimmen, den 

 Zylinder, auf welchem sie gezogen ist, vertikal aufgestellt und ver- 

 gegenwärtige sich, daß die Schraubenlinie gleich einer Wendeltreppe 

 ist, auf welcher man sich nach unten begibt; wir werden dann 

 die Spirale in dem Fall rechtslaufend nennen, wenn man bei dem 

 Abwärtssteigen die Achse des Zylinders an der rechten Hand hat, 

 dagegen linkslaufend, sobald sie dabei an der linken Hand liegt. 

 Wir bleiben dadurch in Übereinstimmung mit der gebräuchlichen 

 Auffassung der Botaniker und der Zoologen. 



Zieht man die „kürzeste Schraubenlinie", die den Punkt o mit 

 einem beliebigen Punkt ;// verbindet, dann macht man eine be- 

 stimmte Drehbewegung um die Achse. Dieser Winkel wird se- 

 kundäre Divergenz des Punktes /// genannt und soll mit b,„ be- 

 zeichnet werden. Diese Divergenz wird als positiv betrachtet, wenn 



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