Kap. I. Regelmüßige Punktsysteme auf einer Kreiszylinderfläche. 19 



durch vergegenwärtigen, daß man in diesen Figuren die Buchstaben 

 m und 11 vertauscht, wieder andere erhält man, wenn die in- und 

 w-zeilige Spirale einen kleineren Winkel als hier miteinander bilden. 

 Diese Richtungsverhältnisse kommen, wie sich später ergeben wird, 

 bei unseren weiteren Betrachtungen nicht vor. 



In allen abgebildeten Figuren schneiden sich die in- und die 

 «-zeilige Spirale in dem Punkte vin, sind es doch konjugierte 

 Spiralen. 



Gemäß unserer Formel 1 erhalten wir nun: 



moi = b,n + A,„ ■ 3600 n(x. = <5„ + A„ ■ 360 o 



also viiiix = n <5,„ + n ■ A,„ • 360 ° ;;/ 110: = in bn-\- m- An ■ 360 ^ 



woraus folgt : mbn-n b,n = {n A„, - m J„) 360 



Eine Betrachtung der Lage vom Punkt mn in den 4 Figuren er- 

 gibt nun, dai5 für alle diese Figuren: 



nibn = bmn 



ist, während aber für die Figuren 7 und 10: 



nb,n = 6,„„— 360» 

 ist, wird für die Figuren 8 und 9: 



nb,n = b,nn + 360° 



Hieraus folgt, daß die obengegebene Gleichung sich auch in dieser 

 Form schreiben läßt: ^^^^^ _ ^^^^^^ ^ ^^ ^o) 



An diesem Schluß wird nichts geändert, wenn man andere Rich- 

 tungsverhältnisse der Spiralen in Betracht zieht; daß dies der Fall 

 ist, wenn ;;/ und n vertauscht werden, leuchtet von selbst ein, aber 

 auch in anderen Fällen überzeugt man sich leicht von der Richtig- 

 keit dieser F'olgerung. 



Die Gleichung (2) gibt uns nun die Möglichkeit, sobald in und 

 n gegeben sind, die Werte J,„ und A„ zu finden. Sind doch m 

 und n, A,n und A„ ganze, positive Zahlen,, während in und ;/ keinen 

 gemeinschaftlichen Divisor haben, so daß die Gleichung (2) als eine 

 diophantische mit den Unbekannten A,„ und J„ aufgefaßt werden kann. 



Nun muß hier aber darauf aufmerksam gemacht werden, daß 

 bei der Herleitung der Formel (2) keine Rücksicht genommen ist 

 auf die Voraussetzung, daß als „Hauptspirale" diejenige Schrauben- 

 linie betrachtet werden muß, die auf dem kürzesten Weg und 1 

 verbindet. Die ganze Herleitung gilt unverändert, wenn man 

 nicht die kürzeste Spirale, sondern eine längere zwischen und 1 

 als „Hauptspirale" betrachtet und dieser entlang die enzyklischen 

 Zahlen J,« und An berechnet. Es liegt also auf der Hand, 

 daß unendlich viele Werte von J;„ und J„ zu finden sein werden, 

 welche man in die Gleichung einsetzen kann. Diejenigen Werte 

 von Am und J„, die für die kürzeste Hauptspirale gefunden werden, 

 sind von allen diesen Zahlen die kleinsten. Man kann also folgende 

 Aufgabe stellen: Es sind zwei Zahlen m und n gegeben, die durch 

 keine gemeinschaftliche Zahl teilbar sind; man suche die kleinsten 

 positiven ganzen Werte von A^ und J„, die der folgenden Gleichung 

 genügen: mAn~nA,, = ±\ 



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