20 Erster Abschn. Einfache Systeme auf einer Kreisz}linderfläche. 



Die Theorie der Kettenbrüche lehrt nun, daß J„; und zl„ dann 

 notwendigerweise „Zähler" und „Nenner" des letzten An- 



näherunefsbruches der Bruchzahl — sind. 



Was die Berechnung dieses letzten Annäherungsbruches an- 

 belangt, möge folgende Bemerkung gemacht werden: 



■111 



Die Bruchzahl — kann durch den Kettenbruch [a^, ^2» ^3 



a,j^^, a,j\ dargestellt werden. In der gebräuchlichen Schreibweise 

 ist dann <7^;> 1, denn man h(")rt mit den aufeinander folgenden 

 Teilungen gewöhnlich auf, sobald man einen ganzen Rest erhalten 

 hat. Der letzte Annäherungsbruch, welchen man bei dieser Schreib- 

 weise findet, d. i. also fa,, a^, a^ .... ß,/-w, ist derjenige, welcher 

 in der oben angeführten Regel gemeint ist. 



Man kann jedoch den Bruch auch durch folgenden Ketten- 

 bruch darstellen: ia^, a.^, a.^ '^q-\^ ^</-i — 1, 1 ) ^)- Der letzte An- 

 näherungsbruch, der auf Grund dieser zweiten Schreibweise erhalten 

 wird, darf jedoch nicht in der oben angeführten Regel angewendet 

 werden -). Wir bemerken dies hier ausdrücklich, weil der Botaniker 



1) In der Regel findet man diese Schreibweise in den mathematischen Lehr- 

 büchern nicht angegeben; soweit mir bekannt, hat sie allein Heinr. Weber angeführt 

 in seinem ,, Lehrbuch der Algebra", 2. Aufl. 1. Band, Braunschweig, 1898, S. 407. 



2) Hier möge ein Beweis dieses Satzes folgen: 



Sind a, ß zwei ganze Zahlen, die Primzahlen unter sich sind, und fragen wir, 

 welche ganzen Werte von x und y der diophantisclien Gleichung r>.y — ßx =: + 1 ge- 

 nügen, so ist die Antwort: ,, unendlich viele". Ist aber x,,, yo eine solche Lösung, so 

 lassen sich, wie leicht einzusehen, alle diese Lösungen in folgender Form schreiben : 

 X ■=^ Xo -\-hn., y-^yo -\- hß, worin h eine willkürliche, positive oder negative, ganze Zahl 

 darstellt. Man braucht also nur eine Lösung aufzufinden um imstande zu sein, alle 



Lösungen anzugeben. Man schreibe nun den Bruch — aus in der Gestalt eines Ketten- 

 bruches und endige dabei die aufeinander folgenden Teilungen, sobald ein ganzer Rest 

 erhalten wird. In der Schreibweise: 



— — loo, öp «2 .... ß«— 1. aii\ ist dann an J> 2 



ß 

 Wenn man nun die aufeinander folgenden Kettenbrüche darstellt durch 



Po P, P.^ 



Pn- Pn Pn « ^" ^' ^^ 



.... ^, — , und zwar so, daß — ^ — ist, so ist nach einer Eigenschaft der Ketten- 



(?«— 1 Qii Q" ß 



brüche: /'«(^«— i — QnPn—\ ^ ( — 1)" oder a(?«_i — ßPn—\ = + 1- Hieraus folgt dann, 

 daß die Werte j;;= P„~\ und y r^ Q„-~\ sicher eine Lösung der diophantischen Gleichung 

 darstellen. Alle Lösungen dafür lassen sich dann nach dem Gesagten darsteilen durch: 

 X = Pn—V -\- hrL, jv = Qn-\ -)- hß, wenn ä := + (0, 1, 2, 3, 4 usw.) ist. 



Es fragt sich nun, welche von allen diesen Lösungen absolut genommen die 

 kleinste ist. Wenn wir nun nachweisen können, daß ■x^'i. P„—\ und ß'lQn — X ist, 

 so wird es einleuchten, daß diese kleinste Lösung erhalten wird, indem man h ^r^ o setzt 

 und daß sie dann also gegeben wird durch x^^P„—\ und r ^ (^//— i. Dieser Beweis 

 läßt sich in sehr einfacher Weise geben. Es ist ja nach einer zweiten Eigenschaft der 

 Kettenbrüche: a = /"// = a„P„—\ -\- P,t—2 und ß ^ Qu = a,iQii—\ -\- Qu— 2, und da 

 nun a„ ^^'2 ist, so muß auch a > 2 P„ \ und ß^ 2 (?«—•_> sein. P2s ist also gezeigt, 

 daß wirklich die kleinsten ganzen Werte von x und r, welche der diophantibchen 

 Gleichung ■xy — ßxz=:^\ genügen, Zähler und Nenner des letzten Annaherungsbruches 



der Bruchzahl — sind. Aus dem Beweis geht zugleich hervor, dal') dabei als Schreib- 

 n 



weise des Kettenbruches nur diejenige gewählt werden darf, welche mit einer Zahl 



größer als 1 endet. 



