Kap. T. Regelmäßige Punktsysteme auf einer Kreiszylinderfläche. 21 



geneigt sein wird, diese zuletzt an gegebene Schreibweise zu gebrauchen 



in Analogie mit dem bekannten Kettenbruch |l, 1, 1, 1, 1, usw.J, 



welchen man, wenn er abgebrochen wird, nicht mit 2, sondern mit 1 

 enden läfät. 



Beispiel. Ist in Formel (2) m = l'S und « ^ 21, so findet man die 

 Werte von J,,^ und J„ in folgender Weise: Man schreibe den Bruch 



~ als einen Kettenbruch: ;^ = H, 1,1, 1,1, 2" und findet dann als letzten 



Annäherungsbruch: |l, 1, 1, 1, l| = |l, 1, 1, 2> = ~, sodaß J,„ = 5 

 und zi„ = 8 wird. 



Hätte man — in dieser Weise als Kettenbruch ausgeschrieben: ;1,1, 

 1, 1, 1, 1, ij und also als letzten Annäherungsbruch genommen M, 1,1, 1, 



1, ij ^ 7o. wodurch J,„ = 8 und J„ ^ 13, so hätte man, wie man sieht, 

 nicht die kleinsten Werte von J;„ und /!„ in der Gleichung (2) erhalten. 



Die besprochene Regel findet man schon bei den Gebrüdern 

 Bravais angegeben, doch fehlt bei ihnen der Beweis. Da wir 

 dieselbe im weiteren Verlauf unserer Arbeit öfter anwenden werden, 

 erschien es uns wünschenswert, hier einen Beweis dafür anzuführen. 



§ 9. Annäherungswerte für die Divergenz, wenn die 

 m- und die n-zeilige Spirale zugeordnet sind. Die be- 

 sprochenen Figuren veranlassen uns noch zu einigen Bemerkungen. 



Wir fanden oben die Formeln: 



a = ^ + i!^.3600 a .= -^ + ±^-360« 

 /;/ m n n 



Es hängt nun von der Richtung der vi- und «-zeiligen Spirale 



und von der der Hauptspirale ab, ob die Werte — ^ und — ^ positiv 

 oder negativ sind. ^^ ^ 



Nehmen wir an, daß die Hauptspirale „rechtsgewunden" ist, 

 dann wird in den Figuren 7 und 8 -^ positiv sein; es ist also 



dann: a > ^-^ • 360^. Ebenso wird für die Figuren 9 und 10: 



a < -^ ■ 360^ gefunden werden, für die Figuren 7 und 10 : a < -^ ■ 3 GO'^ 



und für die Figuren 8 und 9: a > — ^- 360^. Für die 4 Spiegel- 

 bilder müssen in diesen Formeln /// und n vertauscht werden. 



Dadurch erhalten wir folgende Regeln: 



Bei rechtsgewundener Hauptspirale wird; 



a. für den Fall, daß die w- zeilige Spirale ebenfalls rechts- 

 gewunden ist, die //-zeilige aber links, folgende Formel gelten: 



— ■360> a>— -3600 (3a) 

 n in 



b. für den Fall, daß die ///-zeilige Spirale linksgewunden ist, 

 die ?2-zeilige aber rechts, dagegen diese Formel: 



— •360<a < — ■3600 (3b) 

 n m 



