22 Erster Abschn. Einfache Systeme auf einer Kreiszylinderfiäche. 



c. für die Fälle, daß die m- und die /«-zeiligen Spiralen beide 

 links oder beide rechts gewunden sind, werden sich keine An- 

 näher ungsvv-erte für den Wert v^on a angeben lassen. 



Ist die Hauptspirale links gewunden, dann sieht man leicht 

 ein, daß die Regeln a und b ebenfalls Geltung haben, nur hat man 

 die Zeichen der Formeln 3a und 3b umzukehren, während der unter 

 c angegebene Schluß unverändert bleibt. 



Ganz allgemein kann man also als Regel aufstellen: 



Ist die w-zeilige Spirale der Hauptspirale homodrom, 

 die w-zeilige ihr antidrom, so gilt Formel (3a). 



Ist die ///-zeilige Spirale der Hauptspirale antidrom, 

 die /2-zeilige derselben homodrom, so gilt Formel (3b). 



Sind die ;//- und die w-zeilige Spirale beide der Haupt- 

 spirale anti- oder homodrom, so lassen sich keine An- 

 näherungswerte für die Divergenz angeben. 



Kapitel II. Regelmäßige Systeme tangierender Kreise auf 

 einer Kreiszylinderfiäche. Allgemeine Betrachtungen. 



§ 1. Definition. Rund um die Punkte eines „Punktgitters", 

 wie uns solches aus der Abhandlung von A, Bravais bekannt ge- 

 worden ist (siehe § 1, Kap. I), können in der Weise EUipsoide 

 konstruiert werden, daß jedes Ellipsoid 12 andere kongruente und 

 in paralleler Richtung aufgestellte berührt, während nirgends Durch- 

 schneidung von Ellipsoiden stattfindet^). Man kann also auch 

 gleiche EUipsoide stets so aufstapeln, daß die Mittelpunkte davon 

 ein „Raumgitter" bilden; besondere Formen solcher Ellipsoiden- 

 stapel sind die Kugelstapel. 



Eine gleiche Betrachtung, wie die hier für die Raumgitter an- 

 gegebene, kann man nun auch für die regelmäßigen Punktsysteme 

 auf einer Kreiszylinderfiäche anstellen. 



Man denke sich nämlich ein solches System abgerollt, so 

 wird man um alle Punkte desselben gleiche und parallel gelegene 

 Ellipsen beschreiben können und zwar so, daß jede Ellipse 4 andere 

 gleiche berührt, während im übrigen nirgendwo Ellipsen geschnitten 

 werden. Sind z. B. die ni- und ?/-zeilige Spirale konjugierte, dann 

 beschreibe man rund um den Punkt o die Ellipse, welche als halbe 

 zugeordnete Durchmesser die halben Seiten des Parallelogramms o, 

 m, n, {m -j- 7i) besitzt, und konstruiere auch um alle anderen Punkte 

 die übereinstimmenden Ellipsen; dieses System wird dann die an- 

 gegebenen Eigenschaften besitzen. Da man nun in jedem Punkt- 

 system unendlich viel Systeme von konjugierten Spiralen nachweisen 

 kann, so kann man in einem regelmäßigen Punktsystem auch un- 

 endlich viele solcher Systeme von tangierenden Ellipsen konstruieren. 



1) Man siehe: Sir William Thomson, Mathematical and Physical Papers. 

 Closest Packing of one Homogeous Assemblage of Equal and siiniiar Globes or Ellipsoids. 

 Vol. III, 1890, p. 414. Wir bemerken noch, daß der Satz nur für die „Raumgitter" 

 Anwendung hat und nicht für die SoHNKEschen „Punktsysteme". 



