Kap. IL Regelm. Syst. tang. Kreise a. e. Kreiszylinderfl. Allg. Betracht. 23 



Umgekehrt kann man eine unendliche Ellipsenserie stets so 

 auf einer abgerollten Zylinderfläche anordnen, daß die Mittelpunkte 

 ein regelmäßiges Punktsystem darauf vorstellen. 



Der einfachste Fall ist nun der, daß die Ellipsen in Kreise 

 übergehen. Es muß also auch stets möglich sein, eine Serie gleicher 

 Kreise so auf einer Kreiszylinderfläche zu ordnen, daß die Mittel- 

 punkte ein regelmäßiges Punktsystem bilden, während jeder Kreis 

 durch 4 andere berührt, aber kein Kreis geschnitten wird. Solche 

 Systeme werden wir: „Regelmäßige Kreissysteme auf einer 

 Kreiszylinderfläche" nennen. 



Nun läßt sich schon a priori annehmen, daß nicht um jedes 

 regelmäßige Punktsystem ein solches regelmäßiges Kreissystem zu 

 beschreiben ist, so daß sich die Frage erhebt, um welche Punkt- 

 systeme eine solche Konstruktion wohl möglich ist. Wir wollen 

 die Frage auch umgekehrt stellen und überlegen, welche Punkt- 

 systeme gebildet werden durch die Mittelpunkte der Kreise von 

 regelmäßigen Kreissystemen, die mit einem bestimmten Kreisdurch- 

 messer konstruiert sind. Vorher müssen jedoch noch einige all- 

 gemeine Eigenschaften angegeben werden , die solchen Kreis- 

 konstruktionen eigentümlich sind. 



§ 2. Allgemeine Eigenschaften. Zunächst sei bemerkt, 

 daß diese Systeme sich in derselben Weise wie die Punktsysteme 

 einteilen, um welche die Kreise beschrieben sind. In diesem Kapitel 

 werden nur die „einfachen" Kreissysteme zur Sprache kommen, bei 

 denen also eine fortgesetzte Numerierung längs der Hauptspirale 

 möglich ist; die „mehrfachen" Kreissysteme werden erst später be- 

 handelt. 



Berührt der Kreis um o, oder kürzer ausgedrückt der Kreis o, 

 den Kreis w, dann müssen der Regelmäßigkeit des Systems zufolge 

 alle Kreise um die Punkte auf der w-zeiligen Spirale einander be- 

 rühren oder wie der gebräuchliche Ausdruck lautet: miteinander 

 „Kontakt" haben. 



Die ;;/-zeilige Spirale heißt dann „/;z-zeilige Kontaktspirale". 

 Im Ganzen sind m solche untereinander parallele Kontaktspiralen 

 vorhanden. 



Berührt der Kreis o nun außer dem Kreise m auch den Kreis n, 

 dann sind auch noch n untereinander parallele /2-zeilige Kontakt- 

 spiralen nachzuweisen. Wir sprechen in diesem Fall vom „Kontakt 

 tn und w", und nennen einen solchen Kontakt, weil er durch 

 zwei Zahlen ausgedrückt wird, einen „zweizähligen". 



Es wird nun nachgewiesen, daß, wenn der Kontakt m und n 

 besteht, auch notwendigerweise die m- und «-zeiligen Spiralen „zu- 

 geordnete" sein müssen. 



Die Definition, die wir von den regelmäßigen Kreissystemen 

 gaben, schließt die Möglichkeit aus, daß Kreise einander schneiden. 

 Dies gilt also auch für die Kreise m und n. Hieraus folgt dann, 

 daß die beiden gleichen Abstände om und on die zwei kürzesten 

 sind, die man in dem ganzen Punktsystem antrifft, woraus dann 

 nach § 6 Kap. I sofort geschlossen werden kann, daß die m- und 

 «-zeilige Spirale zugeordnet sind. 



Wir wollen von jetzt an ui kleiner als n annehmen. Der 

 Punkt m, wird dann selbstverständlich auch auf kleinerem vertikalen 

 Abstände über der Linie oo liegen als der Punkt n. Besteht dann 



