24 Erster Abschn. Einfache Systeme auf einer Kreiszylinderfläche. 



der ;//- und n-zeWige Kontakt und ist also om = on, so muß nach 

 einem einfachen Lehrsatz der Planimetrie notwendigerweise die 

 ^«-zeilige Spirale weniger steil verlaufen als die ;/-zeilige. Nun 

 haben gerade die Figuren 7, 8, 9 und 10 Beziehung auf alle die 

 Fälle, worin die ///-zeilige Spirale die am wenigsten steile ist, sodaß 

 wir darin bei der Voraussetzung n \ in mögliche Richtungs- 

 lagen dieser Kontaktspiralen finden. Allein diese Figuren werden 

 bei unseren weiteren Betrachtungen zu berücksichtigen sein*). 



§ 3. Dreizähliger Kontakt. Wir haben in i^ 6 Kap. I 

 gesehen, wie bei den regelmäßigen Punktsystemen die Möglichkeit 

 besteht, daß 3 Punkte des Systems in gleichem Abstand von dem 

 Punkt o liegen. Dieses gilt auch für diejenigen Punktsysteme, 

 welche die Konstruktion der regelmäßigen Kreissysteme zulassen. 

 Aus dem in § 6 Besprochenen folgt außerdem, daß, wenn in diesem 

 Fall zwei der Punkte die Nummern m und n haben, der dritte 

 Punkt [m-\-n) oder {n — m) sein muß. Ist nun der Kreis o in Kon- 

 takt mit den Kreisen ni und //, dann muß auch unter dieser Vor- 

 aussetzung in Kontakt sein mit (/// + n) oder mit {n — ;;/). In diesem 

 Falle gehen also durch o drei Kontaktspiralen. Wir werden 

 dann von dem dreizähligen Kontakt ni, n und (;;/ -|- w) oder 

 von dem dreizähligen Kontakt {n — m), ni und n sprechen. 

 Tritt der Kontakt ?«, n und {m^n) auf, dann bilden die ;//- und 

 die «-zeilige Spirale einen Winkel von 120^ miteinander und die 

 (»/ + w)-zeilige halbiert diesen Winkel; haben wir dagegen den 

 Kontakt {n — m), m und n, dann bilden die m- und die ;/-zeilige 

 Spirale miteinander einen Winkel von 60^ und die (;/ — w)-zeilige 

 bildet den gleichen mit der ?/-zeiligen. 



Es wird jedoch nötig sein, die „Richtung" der drei Kontakt- 

 spiralen bei dem Auftreten eines dreizähligen Kontaktes noch etwas 

 näher zu betrachten. Wie schon bemerkt, nehmen wir m < 7i an, 

 sodaß die ;//-zeilige Spirale geringere Steigung als die «-zeilige 



F.^M. 



haben muß. Wir wollen außerdem die ///-zeilige Spirale als „rechts- 

 gewunden" annehmen. Tritt nun der Kontakt m, n und {m-\-n) 

 auf, dann müssen notwendigerweise die m- und die w-zeilige Spirale 



1) Auch die Fälle, bei welchen die Spiralen einen bedeutend kleineren AVinkel miteinander 

 bilden als in den genannten Figuren, kommen nicht in Betracht, wie aus § 3 hervorgehen wird. 



