28 Erster Abschn. Einfache Systeme auf einer Kreiszylinderfläche. 



bei der also der dreizählige Kontakt (« — ///), iii und // auftritt; 

 dagegen erhält man die Lage, bei der die beiden Kreise so weit 

 wie möglich von einander entfernt sind, wenn der Kontakt w, n 

 und (/// + n) besteht. Das sind also die Grenzfälle für den Kontakt 

 /;/ und n. Bei den beiden dreizähligen Kontakten: ///, n und 

 {7n + n) und {ii — in), in und // besitzen aber b und a bestimmte 

 Werte. Alle dazwischen gelegenen Werte entsprechen Kreis- 

 systemen mit dem Kontakt in und ;?, bei welchen kein Schnitt von 

 Kreisen auftritt, die also die gewünschte Kreiskonstruktion möglich 

 machen. 



§ 5. Werte von b und a für dreizählige Kontakte. Die 

 Berechnung der Werte für b und a bei dreizähligen Kontakten 

 geschieht auf folgende Weise: 



Bei dem Kontakt ///, // und (/// -f ^A lassen sich zwei Fälle 

 unterscheiden, entweder ist die ///-zeilige Spirale der Hauptspirale 

 homodrom oder sie ist ihr antidrom. 



Ist sie ihr „homodrom", dann gilt, weil bei diesem dreizähligen 

 Kontakt auch der zweizählige Kontakt in und ;/ besteht, die Formel 4a: 



lim OL 



-jg^^ = (;/■-'- ///03'^+l + 2 ;/J„, 



Da nun außerdem der zweizählige Kontakt in und (/// -{- n) vorhanden 

 ist, dürfen wir diese Formel noch einmal anwenden, wenn wir it 

 durch m-\-ii ersetzen, wodurch sie übergeht in die folgende: 



in {in ~r >i-) a 



1800 



{n'^ - 2 mn) b'^ +1 + 2 {ni + n) A, 



Da nun bei dem dreizäliHgen Kontakte die beiden angegebenen 

 zweizähligen gleichzeitig bestehen, so können wir aus diesen zwei 

 Formeln die Werte von b und a für den dreizähligen Kontakt 

 finden. Eine einfache Elimination gibt: 



b"- = \ (5 a) 



m--\-n'^ Hin 



iny. 2n-\-m 



-\-2A„, (5 b) 



180 iir-+7z'^+iim 



Betrachten wir zweitens den Fall, daß die ;//-zeilige Spirale 

 der Hauptspirale „antidrom" ist, dann hat die Formel 4b Geltung: 



Besteht aber der Kontakt ///, n und {ni^n), dann ist auch 

 der zweizählige Kontakt ;/ und (/// + ;/) vorhanden und da die 

 ?z-zeilige Spirale der Hauptspirale homodrom ist, können wir für 

 diesen Kontakt P'ormel 4a anwenden, wenn wir darin in durch // 

 imd 11 durch {iJi-\-n) ersetzen, wodurch dieselbe übergeht in: 



\^qJ = k'n' + 2 Hin) ^2 + i + 2 (« + ;«) J„ . 



Aus diesen beiden Formeln ergibt sich aber derselbe Wert 

 von b als oben, während a gegeben wird durch: 



ncL 2 in + n 



1800 w^+ «'^+ mn 



+ 2zl„. (5c) 



