Kap. II. Regelm. Syst. tang-. Kreise a. e. Kreiszylinderfl. AUg. Betraclit. 29 



Gleichartige Betrachtung-en werden für Werte von b und a 

 für den dreizähligen Kontakt [n — vi], iii und u ergeben: 



^' = , , o (<)a) 



111- -^n-— Hill ^ 



VI OL 'In — in ^ , , « a 2 m — n ^ ^ 



+ 2 A„. und — -- = ,„., , ^,,, _ + 2 A„ (6 b) 



180" ur- ^ n^ - lim ' ' 180» iif^ + n^- ~ um 



Alle Werte von b und a, die zwischen den aus den Formeln 5 

 und 6 hervorgehenden Größen liegen, werden nach dem vorher Ge- 

 sagten Kreissystemen entsprechen, bei denen zwischen den 

 Kreisen /// und n. kein Schneiden auftritt und worin demgemäß 

 nirgends ein Schnitt der Kreise zu finden ist. 



Es sei noch bemerkt, daß der Wert von b für den Kontakt ///, n 

 und {in -\- ii) kleiner ist als der für den Kontakt (// — ///), in und ;/, 

 bei gleichem Wert von ;// und //. Bei dem ,, höheren" dreizähligen 

 Kontakt hat also b einen kleineren Wert als bei dem „niederen". 



§6. Graphische Darstellung. Graphisch dargestellt können 

 die beiden Formeln 4 a und 4b durch eine Parabel veranschaulicht 

 werden, wenn man die Werte von a auf der A'-Achse und die zu- 

 gehörigen von b auf der J "-Achse abträgt. Die Darstellung II 

 Tafel II enthält solche Parabeln bei verschiedenen Werten von /// und n; 

 später wird hierüber ausführlich gesprochen werden. Hier wollen 

 wir nur die Aufmerksamkeit darauf lenken, daß die Achse der 

 Parabel zusammenfällt mit derjenigen Koordinatachse, auf der a ab- 

 getragen wird, und daß der Scheitel der Parabel auf derselben 

 Achse gelegen ist, was sich unmittelbar aus den genannten Formeln 

 ergibt. 



Die Formel 4a wird durch eine Parabel dargestellt, deren beide 

 Zweige nach rechts gerichtet sind, 4b dagegen durch eine solche, 

 deren Zweige nach links laufen. Aus dem vorigen Paragraphen 

 ergibt sich nun, daß nur ein Teil der unendlichen Parabel den 

 Werten von b und a entspricht, mit welchen ein regelmäßiges 

 Kreissystem zu konstruieren ist. Dieser Teil liegt zwischen den 



Punkten, deren Ordinaten gegeben sind durch b- = 



^ '' iii~-\-n- — nni 



und b- — — -— Diese Endpunkte des betreffenden Teiles, 



in' -|- 7Z- + Hin 



von denen der erstere am höchsten gelegen ist, entsprechen den 

 dreizähligen Kontakten {n — ///), in, n und in, ii, {in -|- //). 



Nach dem vorher Gesagten müssen nun in jedem der den 

 drei Kontakten entsprechenden Punkte drei Parabeln sich treffen 

 und zwar im Punkt ///, ;/ und (/// + ?/) diejenigen, welche mit den 

 zweizähligen Kontakten /// und n, in und (/// + n) und n und (/// + n) 

 übereinstimmen. Über den Verlauf der drei Parabeln von dem 

 Treffpunkt aus werden wir später ausführlich sprechen. 



Aus dem Gesagten lassen sich noch einige wichtige Schlüsse 

 ziehen in bezug auf die Richtung der Kontaktspiralen. 



§ 7. Richtung der Kontaktspiralen bei zweizähligem 

 Kontakte. Betrachten wir die Serie zusammengehöriger Werte 

 von b und a, die bei einem bestimmten zweizähligen Kontakt und 

 bei einer bestimmten Richtung der Hauptspirale möglich sind und 

 welche also einem bestimmten Stück der Parabel entsprechen. Bei 

 dem Kontakte in, n und {in -\- 7i) sind die ?n- und die ;/-zeilige 



