30 Erster Abschn. Einfache Systeme auf einer Kreisz\'linderfläche. 



Spirale nach § 3 dieses Kapitels immer antidrom; aber bei dem 

 Kontakte {n — in), in und n, können diese Spiralen einander sowohl 

 anti- als homodrom sein, und zwar antidrom, wenn ;/ < 2/«, und 

 homodrom, wenn ?2>2w. Sind sie bei dem Kontakt {n — ?n), m 

 und n antidrom wie bei dem Kontakte m, n und (w-f?/), dann 

 müssen bei konstanter Windungsrichtung der Hauptspirale auch not- 

 wendigerweise beide Spiralen bei beiden dreizähligen Kontakten 

 dieselbe Richtung besitzen. Wäre das nicht der Fall, so würden 

 bei dem Übergang von Kontakt n — in, in und in zum Kontakt in, 

 n und m-\'ii beide ihre Richtung verändert haben müssen, was, 

 ohne daß die Kreise m und n einander schneiden, nicht möglich sein 

 kann. Da aber zwischen dem „höheren" und „niederen" Kontakt 

 keine anderen dreizähligen Kontakte und also auch kein Schnitt 

 von Kreisen vorkommt, so ist ein Passieren der Kreise ausge- 

 schlossen. 



Wir kommen also zu folgenden zwei Schlüssen: 



1. Ist n<^2in, dann müssen bei allen regelmäßigen 

 Kreissystemen mit dem Kontakt in und n, die /;/- und die 

 ;/-zeilige Spirale einander antidrom sein. 



2. Ist 11 > 2in, dann werden unter den regelmäßigen 

 Kreissystemen mit dem Kontakt in und n sowohl Kon- 

 struktionen vorkommen, bei welchen die m- iind die 

 n-zeiWge Spirale antidrom, als auch solche, bei welchen 

 sie homodrom sind. 



Es läßt sich nun, wie leicht einzusehen ist, diesen zwei Regeln 

 noch eine dritte hinzufügen. 



3. Die »2-zeilige Kontaktspirale zeigt bei konstanter 

 Windungsrichtung der Hauptspirale in allen Fällen mit 

 demselben Kontakt in und n auch gleiche Windungs- 

 richtung und zwar sowohl wenn n <^2ni, als w^enn nylni ist. 



Es folgt aus dieser letzten Regel, daß in allen Fällen mit 

 demselben Kontakt m und n, die ;;/-zeilige Spirale entweder der 

 Hauptspirale homodrom oder antidrom gewunden ist, daß es aber 

 unmöglich ist, daß in gewissen Fällen mit einem Kontakt in und n die 

 beiden Spiralen homodrom, während sie in anderen Fällen mit diesem 

 Kontakt antidrom laufen. Es ist dies darum von Interesse, weil daraus 

 herv^orgeht, daß wir für einen bestimmten Kontakt entweder Formel 

 (4 a) oder (4 b) anzu\venden haben und nicht etwa für bestimmte Fälle 

 des Kontakts die eine Formel, für andere Fälle die zweite. 



Aus dem Gesagten folgt aber, daß, falls ?/ < 2 w ist, die 

 ^/-zeilige Spirale in verschiedenen Fällen mit dem Kontakte m und n 

 wohl die Windungsrichtung ändern kann vuid daß dabei die Mög- 

 lichkeit besteht, daß diese Spirale vertikal verläuft ; die Divergenz beträgt 



in diesem letzten Fall a = —^-360°. Ist n <C2in, dann kann dieser 

 Fall nicht vorkommen. ^ 



§ 8. Annäherungswerte für die Divergenz beim Kon- 

 takt •/// und n. In der Voraussetzung, daß n<^2n/ ist, lassen sich 

 nun einige sehr bemerkenswerte Schlüsse ziehen über die Grenz- 

 werte, zwischen welchen sich die Divergenz bei m- und «-zähligem 

 Kontakt bewegt. 



Es sind nämlich bei dieser Voraussetzung die in- und die n- 

 zeilige Spirale stets antidrom; und es werden dann auch die n- und 



