32 Erster Abschn. Einfache Systeme auf einer Kreiszylinderfläche. 



für den rechtwinkligen Kontakt /;/ und n gegeben durch die Formel: 



»ly- = f-^^+J«,) 3600, (10a) 



während für den Fall, daß diese beiden Spiralen antidrom gewunden 

 sind, die Divergenz für den genannten Kontakt gefunden wird durch 

 die Formel: / \ 



n^ = [-ir^> + ^" ^^«»O". (lOb) 



Wir bemerken noch, daß der Wert von h, welcher aus der 

 Formel (9) folgt, zwischen den beiden Werten liegt, welche dieser 

 Faktor bei den dreizähligen Kontakten m, n und (/// + n) und {n — m), 

 m und ;/ besitzt und welche durch die Formeln oa und 6a gegeben 

 sind. Nun waren diese beiden Werte die Grenze von allen Werten 

 von b, welche regelmäßigen Kreissystemen entsprechen. Hieraus 

 folgt also, daß bei allen möglichen Werten für m und n auch eine 

 Kreiskonstruktion mit rechtwinkligem Kontakt realisierbar ist. 



Kapitel III. Systeme von tangierenden Kreisen mit Kontaliten 

 aus der Hauptreilie auf einer Kreiszylinderfläclie. 



§ 1. Die Hauptreihe. Die allgemeinen Betrachtungen der 

 vorhergehenden Kapitel wollen wir nun anwenden auf bestimmte 

 Zahlenbeispiele; dadurch wird das Besprochene noch näher erläutert 

 werden. 



An erster Stelle wollen wir zwei- und dreizählige Kontaktfälle 

 besprechen, wobei die Werte /// und ?i zwei oder drei aufein- 

 ander folgende Zahlen sind aus der Reihe: 



0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 usw., 

 eine Reihe, welche sich durch die beiden Eigenschaften auszeichnet, 

 daß die ersten Glieder die einfachen Zahlen und 1 sind und dal^) 

 jedes folgende Glied gleich der Summe der beiden vorhergehen- 

 den ist. 



Diese Reihe ist bei den Mathematikern als die Reihe von 

 Lame oder von Gerhardt bekannt, wird jedoch von den Botanikern 

 gewöhnlich als die von FiBONACCI, BRAUN oder auch wohl 

 kurzwog als die Hauptreihe bezeichnet^). Weiterhin werden 

 wir ausschlief')lich diesen letzten Ausdruck anwenden und werden, 

 sobald i/i und n zwei aufeinander folgende Glieder dieser Reihe 

 sind, von einem zweizähligen Kontakte /// und n aus der 

 Hauptreihe sprechen. 



In dieser Reihe ist, abgesehen von den ersten vier Gliedern, 

 jedes folgende Glied kleiner als das doppelte vorhergehende. Die 

 Eigenschaften, die wir in § 3 und § 7 des vorigen Kapitels für 

 n<^2i/i abgeleitet haben, gelten also in allen Fällen, in denen m 



1) Man vergleiche: F. Ludwig. Weiteres über Fibonaccikiirven (Originalmit- 

 teiiung), Bot. Zenlralbl. Bd. LXVIII, 17. Jahrg. ISitü, S. 1— Ö. 



