34 Erster Abschn. Einfache Systeme auf einer Kreiszylinderfläche. 



welcher später näher besprochen wird, ist aber so einfach, daß ein 

 langes Verweilen bei dieser Ausnahme unnötig erscheint. 



Der hier gegebene Beweis ist nicht streng mathematisch, es 

 möge ein anderer folgen, der uns zugleich Gelegenheit geben wird, 

 einzelne bedeutende Eigenschaften der Hauptreihe näher zu be- 

 leuchten. 



Wir nehmen an, daß m und ii aufeinander folgende Glieder 

 der Hauptreihe sind (jedoch nicht die kleineren), es sind dann 

 5 m — 3 n, 2 n — 3 m, 2 m — n, w — m Glieder dieser Reihe, die 

 m und n vorhergehen. 



Zuerst sei darauf hintjewiesen , daß der Bruch in diesem 



n 



Falle stets dargestellt werden kann durch einen Kettenbruch, dessen 



Teilnenner alle gleich 1 sind. Es ist nämlich in dieser Reihe ein 



folgendes Glied stets kleiner als das doppelte vorhergehende, und 



7/1 



es läßt sich darum der Bruch ~ in dieser Form schreiben: 



7/ 



m \ \ 1 



— = = ^ r= = USW. 



m 



n 



m 2m — n 1 (a) 



1 -\ 1 -\ — ■ — - — 



n — m 2n — ötn 



2 m — n 

 Die Teilung kann fortgesetzt werden bis man einen Rest — erhält. 



Wir können also auch folgende Schreibweise anwenden: 

 {1,1,1,1, .y Glieder 1 1,1,1,1,1 } 



Nun erwähnten wir, daß für die Bestimmung von -^ der Ketten- 



m ' 



bruch, der den Ausdruck — darstellt, abgebrochen werden muß, 



sobald ein ganzer Rest erhalten wird; nur dann erhält der letzte 



Annäherungsbruch den Wert -^ (siehe S. 20). Darum dürfen wir 



für den Kettenbruch nicht obenstehende Schreibweise anwenden, 

 sondern haben folgende zu nehmen: 



-^(1,1,1,1, s GHeder 1 1, 1, 1, 2 ) . 



Der letzte Annäherungsbruch des Kettenbruches ist also: 



-p = {1,1,1,1, .... .y Glieder 1 1,1,1} 



oder wieder auf die andere Weise geschrieben: 



^ = { 1, 1, 1, 1 J Gheder 1 1, 2 } 



Derjenige Kettenbruch, der den Ausdruck ~ darstellt, unter- 



^« 



scheidet sich also von dem, welcher identisch ist mit dem Bruch 



m 



— darin, daß 2 Teilnenner 1 weniger darin vorkommen. 



