Kap.III. Syst.v.tang. Kreisen m.Kont. a. d. Hauptreihe a.e.Kreiszylfl. 35 



2 w — n 



Schreibt man nun den Bruch auf dieselbe Weise als 



n — m 



VI 



Kettenbruch, wie wir oben bei — taten, so wird: 



?/ 



2 m — n 1 



n — m 2n — Sm (ß) 



2 m — 7z 



und vergleicht man die Ausdrücke (a) und (ß), so ist klar, daß die 



9/Z f92 ^2 



Kettenbrüche, durch welche die Ausdrücke — und — darge- 



n n — m 



stellt werden können, ebenfalls nur darin verschieden sind, daß in dem 



ersten Ausdruck zwei Teilnenner l mehr vorkommen. Dann ist je- 



A -u ^ A- • ^'" 2 m — n 



doch notw^endisferweise —r- ^ 



A,i n — m 



Der hier gelieferte Beweis gilt selbstverständlich ausschließlich 



III . 

 für die Fälle, bei denen in dem Kettenbruch für — mindestens 



n 



m 3 

 zwei Teilnenner vorkommen, also für alle Werte von — :^v- Für 



/ m 0\ ^^ ~ ^ 



die niederen Werte mit Ausnahme von — ^^ ^ I kann man sich 



aber unmittelbar von der Richtigkeit unserer Regel überzeugen. 



§ 3. Zahlenbeziehung zwischen 7n und n in der Haupt- 

 reihe. Die gefundene Eigenschaft setzt uns in den Stand eine Be- 

 ziehung abzuleiten, die zwischen m und ;/ besteht, sobald diese 

 Größen aufeinander folgende Glieder der Hauptreihe sind, eine 

 Eigenschaft, von der späterhin Gebrauch gemacht werden soll. 



Nach Formel (2) ist: 



mA„ — nAm = + 1 



Setzt man hierin die durch (12) gegebenen Werte von zJ„, und An 

 ein, so wird: 



m{n — m) — 7i (2 m — n) = + 1- 



oder: n- — mn — m" = -^l (13) 



Von der Richtigkeit dieser Formel kann man sich sehr leicht durch 

 Einsetzen verschiedener Werte aus der Hauptreihe für m und n 

 überzeugen ^). 



§ 4. Die Beziehung zwischen b und a für zweizählige 

 Kontakte aus der Hauptreihe. Setzen wir die Werte, die wir 

 in § 2 für A„i und J„ fanden, nämlich J,„ = 2 m — n, A„ ^^ n — m 

 in die Formeln 4a und 4b ein, so können wir, wenn wir es mit 

 zweizähligen Kontakten aus der Hauptreihe zu tun haben, die Be- 

 ziehung zwischen b und a ausdrücken durch folgende Gleichung: 



m n OL 



--^- =: {n'--m^-)b-^-\-l+2n[2m-n) (14a) 



1) Diese EigCDschaft gilt auch für w = 0, n = 1, und ist auf einfachem Wege 

 zu beweisen, ohne von der im vorigen § besprochenen Eigenschaft auszugehen; für 

 unseren Zweck ist der obenstehende Beweis hinreichend. 



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