36 Erster Abschn. Einfache Systeme auf einer Kreiszylinderfläche. 



für den Fall, daß die w-zeilige Spirale der Hauptspirale homodrom 

 läuft, und durch die Gleichung: 



n 111 OL 



^— = -{n^-- w2) i)-2-^l-\-2m{n- m) (14b) 



für den Fall, daß diese beiden Spiralen einander antidrom sind. 



Jedoch muß hierbei der Vorbehalt gemacht werden, daß die 

 Gleichungen A„i = 2 m — n und zl„ = « — ;;/ nicht gelten für den 

 Kontaktfall »? := 0, « = 1, sodaß dafür auch die Gleichungen 14a 

 und 14b nicht gültig sind. Um nun für den Kontakt und 1 die 

 Beziehung zwischen b und a zu finden, müssen wir zu den Formeln 

 4a und 4b zurückkehren. Welche von diesen beiden Gleichungen 

 wir jedoch anwenden müssen, ist nicht ohne weiteres einzusehen, 

 da dies ja davon abhängt, ob die w-zeilige Spirale homo- oder anti- 

 drom zur Hauptspirale ist, während dies von der 0-zeiligen Spirale 

 natürlich nicht anzugeben ist. Versucht man aber die Formeln 4a 

 und 4b für »? = 0, « = 1, A», = 1, A„ = zu berechnen, so gibt 

 4a etwas Unmögliches und es bleibt allein 4b für die Anwendung 

 geeignet und diese gibt: 



b = 1 



Hieraus erhellt also, daß der Kontakt und 1 bei allen möglichen 

 Werten von a vorkommen kann, aber daß stets b = \ sein muß. 



Wir haben hierbei noch keine Rücksicht genommen auf die 

 Bemerkungen, die in § 4 und § 5 Kap. II gemacht sind. Aus diesen 

 folgt nämlich, daß allein die Werte von b und a, die zwischen den- 

 jenigen liegen, welche gelten für den Kontakt {n — m), vi und n 

 und für den Kontakt m, n und {m + n), für die Konstruktionen mit 

 dem Kontakt in und n brauchbare Werte geben. Wir werden 

 jedoch bei der Besprechung der dreizähligen Kontakte sehen, daß 

 dies für den Kontakt und 1 keine Beschränkung verursacht. 



Betrachten wir nun an zweiter .Stelle den Kontakt 1 und 1, 

 wofür die Formeln (14) wohl Geltung haben. Welche dieser 

 Gleichungen (14a) oder (14b) müssen wir anwenden? Auch hier 

 stehen wir wieder vor der Schwierigkeit, daß die ^«-zeilige Spirale, 

 hier also die 1-zeilige, sowohl homodrom als antidrom zur Haupt- 

 spirale aufgefaßt werden kann, weil hier kein Unterschied besteht 

 zwischen der w-zeiligen und der w-zeiligen. Wir können uns auch 

 hier auf dieselbe Weise aus der Schwierigkeit helfen. Denn ver- 

 sucht man w = l, w = l, A„, = l, A„ = in die Formel (14a) einzu- 

 setzen, so kommt man wieder zu einem unmöglichen Resultat und 

 es bleibt nur die Formel (14b) übrig, die uns als Beziehung zwischen 

 b und a bei dem Kontakte 1 und 1 gibt: 



a=180o 



Hieraus folgt, daß bei dem Kontakte 1 und 1 stets eine Divergenz 

 von 180^ herrschen muß, daß aber b alle m()glichen Werte be- 

 sitzen kann. Nun wird dieser Kontakt 1 und 1 begrenzt durch 

 den dreizähligen Kontakt 0, 1 und 1 und den dreizähligen Kontakt 

 1, 1 und 2. Die Werte von a und b für diesen letzten Kontakt 

 bilden auch eine der Grenzen für den Kontakt 1 und 2. 



Betrachten wir nun diesen Kontakt 1 und 2, dann ist es deut- 

 lich, daß hierbei alle Zweifel über die Anwendung der Formel (14a) 



