Kap. III. Syst. v. tang. Kreisen m. Kont. a. d. Hauptreihe a. e. Kreiszylfl. 47 



auch schreiben: 



1 



1 = 



woraus dann folgt: 

 was ergibt 



X 



Z^ + X-1 = 0. (16) 



Die zweite Wurzel der Gleichung kommt nicht in Betracht. 



Die Berechnung dieser irrationalen Zahl ist auf 34 Dezimal- 

 stellen ausgeführt worden, für unseren Zweck können wir uns mit 

 folgendem Näherungswerte begnügen: 



X 



i (- 1 + Vö) = 0,6180340 (17; 



Das jetzt berechnete Verhältnis hat den Namen „göttliche" 

 oder „stetige Proportion" oder auch „Proportio divina" erhalten. 



Da nun einmal die Limite des unendlich fortlaufenden Ketten- 

 bruches mit der ausschließlichen Indexzahl 1 bekannt ist, kann man 

 mit deren Hilfe sofort die Limite desjenigen Kettenbruches finden, 

 welchem wir im vorigen Paragraphen begegneten: 



1 



1 + ^ 



1+i 



1 + .... 

 Diese können wir nämlich darstellen durch: 



2 + Z 

 und dieser Ausdruck läßt sich noch dadurch vereinfachen, daß man 

 Zähler und Nenner mit l —x multipliziert, woraus sich dann ergibt: 



1-Z ^ 1 



l_;^=.^(3-y5) = 0,3819660. 



2-x-x' ^ 2 



Hiermit ist die Richtigkeit des Wertes, den wir im vorigen 

 Paragraphen einsetzten, bewiesen. 



Wir weisen noch darauf hin, daß diese letzte Limite auch als 

 der Grenzwert aufgefaßt werden kann, welchem sich die folgende 

 Reihe nähert : 



1 j. 2 3 ^ 8^ 



I' 2' 3' 5' 8' l3' 21 ^^^" 



Wir werden nun nachweisen, daß, wenn man mit zwei will- 

 kürlichen Zahlen als Anfangszahlen eine Reihe bildet, wobei jede 

 folgende Zahl gleich der Summe der beiden vorhergehenden ist, 

 die Limite des Quotienten zweier aufeinander folgender Glieder 

 der göttlichen Proportion x gleich wird. 



Eine solche Reihe läßt sich stets darstellen durch: 



/, ^,/ + ^,/ + 2/, 2/ + 3^, 3/ + 5^, 5/ + 8^ usw. 



