48 Erster Abschn. Einfache Systeme auf einer Kreiszylinderfiäche. 



und man sieht sogleich ein, daß die Koeffizienten der Zahlen 

 p und q stets zwei aufeinander folgende Glieder der Hauptreihe 

 sind. Man kann also zwei aufeinander folgende Glieder vi und n 

 dieser Reihe darstellen durch: 



m = m^ p -\- n^ q und n — n^p -\- (m^ + n^) q, 



wenn rn^ und 7i^ aufeinander folgende Glieder der Hauptreihe sind, 

 die stets größer werden, je höher die betrachteten Glieder vi und 7i 

 der Reihe sind. 



Der gesuchte Limitwert wird also: 



Lim^ = Lim ^^^^^ + ^^^^ = Lim -^ ^ = 



n n^p+[m^ + n^)q ^.^P^i^iL 



xP-\-^ i^ip^q^ xixP+9) _.. 



P + {x-\-^)9 xP + x-(i-\-x(] ;f/ + ^ + (z' + z-i)^ 



womit die Behauptung bewiesen ist. 



Die Größe ^ besitzt noch eine andere Bedeutung, sie stellt 

 nämlich das Verhältnis der beiden Teile dar, in die eine Gerade 

 zerlegt wird, wenn man sie so teilt, daß der größere Abschnitt 

 mittlere Proportionale zwischen der ganzen Geraden und dem klei- 

 neren Abschnitt wird. 



Nennt man die ganze Länge der Linie /, den größten Abschnitt 

 X /, so muß : 



I:xl=xl:{l-Xi) 

 oder: 



was nach (11) richtig ist, wenn yi das Verhältnis der göttlichen 

 Proportion darstellt. 



Man hat nun diese Teilung der Geraden denjenigen des gol- 

 denen Schnittes genannt; x stellt also auch das Verhältnis des 

 goldenen Schnittes dar. 



Endlich gibt x noch den Quotienten der goldenen Reihen 

 an; das sind diejenigen geometrischen Reihen, bei denen jedes 

 Glied gleich ist der Differenz oder der Summe der beiden unmittel- 

 bar vorhergehenden Glieder. 



Stellen wir eine solche geometrische Reihe dar durch: 



a a a a o , . 

 -4' -3' p -' ^' «^' ^^"' ""'X'^ «^*' 



in welcher a eine willkürliche Zahl vorstellt, dann muß diese 

 Schreibweise identisch sein mit der folgenden: 



a{2-\-^\ aiy\ -^\ a(l-^\ -, a, a^, ail- i\ a{2x-V), 



«(2-3;t). 



Damit nun hierin die dritten Glieder von a ab gerechnet 

 identisch sind, muß: 



a x'- ^ a{\— x) oder x~-^X—^ 0, 



