Kap. IV. Syst. tang. Kreise m. Kont. a. d. Nebenreihen a. e. Kreiszylfl. 5 1 



daß sie außerdem die kleinsten Werte sind, bei denen das der 

 Fall ist. 



Setzen wir die gefundenen Werte von /// und n und diejenigen 

 von J,„ und J„ aus den Formeln (18) in die Gleichung ein, so muß 

 bewiesen werden: 



( (2 ///, - 11^) + (;/i - })i^)z) in^ - ( (//i - ///i) + Wi z } {n^ — w,) = + 1 



oder ausgerechnet: 



///i - + III X ih —^1^ = dz 1 



Da nun ///^ und //j aufeinander folgende Glieder der Haupt- 

 reihe sind, so besteht hier nach Formel (13) S. 35 eine Identität, 

 sodaß die Werte (18) in der Tat der Gleichung (2) genügen. 



Um nun nachzuweisen, daß es auch die kleinsten sind, bei 

 denen das der Fall ist, bedenke man, daß alle Lösungen der Glei- 

 chimg (2) wiedergegeben werden müssen durch: 



A„i = {n^ — //ij) + /i )ii und zl„ = ui^ + h 7i 



worin h = +(0, 1, 2, 3, 4, 5, usw.). 



Es lassen sich diese Werte auch folgendermaßen schreiben: 



^m = {lh - "'\) + ^/ J (2 lllx — ^l) + {ih — l'l\) 2 } 



A„ = i/i^ + h [ (//i — w, ) + ///^ z } 



und es wird deutlich sein, daß sobald hierin 2^2 ist, für jeden 

 Wert von Ji, der größer als o ist, auch ein absolut größerer Wert 

 der Ausdrücke A,,,, und A„ als {7i-^ — m^ und m^ erhalten wird. 

 Daraus folgt nun, daß die Werte (18) wirklich die kleinsten sind 

 und mithin die gesuchten. 



Die Berechnung von J;„ und J„ ist also sehr einfach und das 

 Ergebnis einer solchen läßt sich in dieser Form schreiben: 



m_\ z 1+2 1 + 22 2 + 32 



^'^^ ^ = T* iVi l + 2z "2 + 37' ¥+57' ^''^• 



.,^«.011 2 ^ 3 ^^^^ 



dann ist: -r— ^^ ^r' -^r' -ft' -tt' -;^' usw. 



zJ„ 1 1 2 3 5 



Daraus sieht man, daß A„j und J„ die Koeffizienten von z sind, die 

 in den Ausdrücken von 7// und n vorkommen. 



Nimmt man 2 = 2, so geht die Nebenreihe 1,2 über in die 

 Hauptreihe, und wie man sieht, ist dann auch das Ergebnis, das 

 man nach (19) erhält, identisch mit dem, welches aus (11) S. 33 

 gefunden wurde i). 



§ 3. Die Beziehung zwischen d und a für zwei- 

 zählige Kontakte aus der Nebenreihe 1, 2. Setzen wir die 

 Werte (18) in die Formeln (4) ein, so finden wir für den Fall, daß 

 die ///-zeilige Spirale der Hauptspirale homodrom läuft: 



1/1 tt OL 

 , ____ = («2_,,,2)32+l_|_2«(;^^_,;,^) . . . (20a) 



und für den Fall, daß sie antidrom der Hauptspirale ist: 



tH "h OL 



■ -{n^'-m^)ö^-]-l + 2 m m^ . . . . (20 b) 



ISO» 



1) Man darf nicht z = 1 setzen, denn dann ist die Richtigkeit der oben gegebenen 

 Ableitung, wobei vorausgesetzt wurde, daß 2^2 ist, hinfällig. 



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