Kap. IV. Syst. tang. Kreise m.Kont.a.d. Nebenreihen a. e.Kreiszyltl. 55 



Man findet das Resultat einzelner Ausrechnungen in Tabelle III 

 (S. ö2), auch sind die betreffenden Punkte in der graphischen Dar- 

 stellung angegeben. 



v^ 8. Anfertigung und Beschreibung der geometri- 

 schen Konstruktionen. Die Art, auf welche die Kreiskonstruk- 

 tionen ausgeführt werden, wenn einmal die Werte von h und « 

 bekannt sind, bedarf nach dem, was wir darüber bei der Besprechung 

 der Hauptreihe gesagt haben, keiner näheren Erläuterung. Auf 

 Tafel I findet man in Figur 12 bis 16 dergleichen Konstruktionen 

 für Nebenreihen 1, c angefertigt. Fig. 12 stellt den Kontaktfall 

 1 und 3 mit der Divergenz 1/3 • 860 '^ = 120^ dar, wobei also die 

 dreizeiligen Spiralen vertikal verlaufen. Fig. 13 gibt den Fall wieder 

 mit dem rechtwinkligen Kontakte 1 und 3, wobei a — 3/^0-360'', 

 Fig. 14 ist der dreizählige Kontakt 1, 3 und 4, Fig. 15 der recht- 

 winkHge Kontakt 3 und 4, während endlich Fig. 16 denjenigen 

 Kontaktfall 1 und 4 darstellt, wobei a = V4-3600 = 90 « ist. 



Es sei noch darauf hingewiesen, daß wir für diese Konstruk- 

 tionen wieder eine Zylinderfläche mit dem Umfang 5 cm wählten, 

 und daß also die Durchmesser der Kreise in den einzelnen Kon- 

 struktionen ein direktes Maß für den Faktor b sind. Vor allem ist 

 eine Vergleichung mit den Größenverhältnissen der Kreise bei den 

 Konstruktionen für die Hauptreihe sehr lehrreich, später kommen 

 wir hierauf näher zurück. 



§ 9. Die Berechnung von J,„ und J„, wenn /// und n 

 aufeinander folgende Glieder der Nebenreihe /, q sind. Wir 

 schreiben die Nebenreihe /, q und die Hauptreihe folgendermaßen 

 untereinander: 



/, q, p + q, p + '^q, '^P + ^q, ^P + ^q, ... w, n, .... 



112 3 5 8 . . . ///i, «1, .... 



und nennen die untereinander stehenden Glieder ., korrespondierende". 

 Wir können dann iit und n ausdrücken durch m^, n^, p und q und 

 erhalten : ^^ ^ ^2 m^ -n^)p + {n^ - m{) q 



n ^ (;/i — ;//i)/+ m^ q 



i> 



Denken wir uns nun den Bruch - als Kettenbruch geschrieben, 



q 



und nennen wir den Zähler und Nenner des letzten Näherungs- 

 bruches LI und j', dann werden wir nachweisen, daß: 



A„, = (2 /«i — ^1) /t + [n^ — Wi) V \ 



ist. Dazu werden wir beweisen, daß diese Werte der Gleichung (2): 

 /// /!„ — n A,,, = +1 entsprechen, und daß sie außerdem die kleinsten 

 Werte sind, mit denen das der Fall ist. 



Setzt man die Werte (21) in die Gleichung (2) ein, so muß 

 also bewiesen werden: 



J(2 ;//, -n^)ju + («1 - ///i) v) { {n^ - m^p + m^ q ) — 

 { {fi^ — //^i) /i + ///, v\ ( (2 m^ — n^p + K — ///i) ^) = + 1 



pder ausgerechnet: 



(;;/i2 _|_ „i^ n^ -n^')[l^iq -v p) = ±\ 



