56 Erster Abschii. Einfache Systeme auf einer Kreiszylinderfläche. 



Nun ist der erste Faktor dieses Produktes nach Formel (13) 

 sicher gleich + 1, aber auch der zweite Faktor ist dem gleich, weil 

 // und V Zähler und Nenner des letzten Näherungsbruches des 



Quotienten — sind. Die Beziehung stellt also in der Tat eine 



Identität vor. 



Um ferner nachzuweisen, daß die Werte (21) auch die kleinsten 

 sind , die der Gleichung (2) genügen , bedenke man , daß alle 

 Lösungen dieser Gleichung enthalten sein müssen in den Aus- 

 drücken: 



A,„ = [2 ;;/i — w^) /i + {n^ — n/^) v + h in 



und A„ = [n^ — ///J ,« + ///, v + h n, 



wenn ^ = +(0, 1, 2, 3, 4 usw.) 



ist, oder, wenn man die Werte für /// und n einsetzt, in diesen: 



zl„, = (2 ///i — Hy) ff + (n^ — ///y) v + /i |(2 ///i — ;/i)/ + [n^ — w^) ^) 



Au = (/«i — Wi) /' + //^i r + /i{ («1 — m^)p+ m^ q } 



Es ist klar, daß, wenn / ^ 2 und q^ 2 ist, keine kleineren 

 Werte für .\,„ und A„ (absolut genommen) bestehen als diejenigen, 

 welche man erhält, wenn man ^ = setzt; daraus folgt also, daß 

 die Werte (21) wirklich die gesuchten sind. 



Nun wird die Berechnung von J,„ und A„ in der Regel viel 

 einfacher geschehen durch direkte Anwendung des Lehrsatzes, daß 

 diese Größen Zähler und Nenner des letzten Näherungsbruches des 



Quotienten — sind; die gefundenen Ausdrücke für A,„ und A„ werden 



'-'71 



sich aber für die weitere Ableitung als so wichtig herausstellen, 

 daß sie hier doch einen Platz finden mußten. 



§ 10. Konstruktionen und graphische Darstellung in 

 der Nebenreihe/, q. Die Beziehung zwischen a und b wird für 

 diese Nebenreihe in der Regel am besten gefunden durch An- 

 wendung der Formeln (4 a) und (4 b). Welche von diesen beiden 

 man nun gebrauchen muß, läßt sich nicht im allgemeinen angeben, 

 ist aber in der Regel sehr schnell herauszufinden. 



Nehmen wir als Beispiel die Kontakte der Nebenreihe 2, 5. 

 Der Kontakt 2 und 5 wird an der einen Seite begrenzt durch den 

 dreizähligen Kontakt 3, 2 und 5 oder 2, 3 und 5, d. i. also durch 

 einen Kontakt aus der „Hauptreihe" von dem bekannt ist, daß die 

 zweizeilige Spirale der Hauptspirale antidrom läuft; also gilt dies 

 auch für alle Kontaktfälle 2 und 5. Damit ist gezeigt, daß 

 Formel 4 b für diesen Kontakt angewendet werden muß; diese 

 ergibt bei der Ausrechnung: 



a = (9-21 (^2)180 



In dem Kontakt 2, 5 und 7 läuft die .5-zeilige Spirale der 

 Hauptspiralc homodrom , dies gilt auch für alle Kontaktfälle 5 

 und 7, sodalj dafür Formel (4 a) gebraucht werden mui), welche 



^^^^^^" 7a = (24^2 +29)36 



Für den Kontakt 7 und 12 hat wieder Formel 4b Geltung- und in 

 dieser Weise kann man weiter schließen. 



