58 Erster Abschn. Einfache Systeme auf einer KreiszyUnderfläche. 



Bricht man diesen Kettenbruch irgendwo ab, so erhält man 

 stets bei der Ausrechnung von allem, was auf den Teilnenner z 

 folgt, einen Annäherungsbruch des unendlichen Kettenbruches: 



[h 1, 1, 1, ...•! 



Man kann diesen letzten Kettenbruch immer so abbrechen, daß 



als Näherungsbruch gefunden wird: ^ -. Der erstgenannte 



Kettenbruch geht jedoch, wenn er in gleicher Weise abgebrochen 

 wird, über in: 



1 n^ — m^ 



2 m^ — n^ (2 ///^ — n])-\- {n^ — m^) z 

 z H 



n^ — m^ 



d. h. in den ersten der obengenannten Annäherungswerte. 



Hätte man den Kettenbruch in einem folgenden Teilnenner 

 abgebrochen, so würde als Näherungswert dieses Bruches ent- 

 standen sein: 



1 m^ 



n^ — m-^ [n, — ?n,) + JfiiZ 

 z H 



d. h. der zweite der oben angegebenen Annäherungswerte. 



Es ist also klar, daß die Limitdivergenz, welche man erhält 

 durch die Betrachtung immer höherer Werte aus der Nebenreihe 1, z, 

 dargestellt wird durch: 



Limite { s, 1, l, 1, 1 ] 360 » 



Der Wert dieser Limite ist sehr leicht anzugeben, denn wir fanden 



in § 11 Kap. III als Limite für den Kettenbruch ^1, 1, 1, 1, J 



die „göttliche Proportion" x, sodaß: 



Lim ^- :, 360° = ^— -360 (22) 



1 2 + Z 



2 + 



1 + 



1+ 



1+.... 



wird. 



Für 2 = 3 findet man also: 



Limitdivergenz = 360« = 99« 30' 6", 



für 2 = 4: 



Limitdivergenz = 360» = 77057'19", 



^ 4 + z 



für 2 = 5: 



Limitdivergenz = — —-3600 = 64 «4' 45", 



usw. 



Die hier berechneten Limitdivergenzen sind in der mehrfach 

 besprochenen graphischen Darstellung durch dickere Ordinaten an- 

 gegeben. Jede dieser Ordinaten schneidet, wie sich aus dem Vor- 



