Kap. V. Fortsetz. d. allgem. Betracht, üb. regelm. Kreissyst. a. e Kreisz3'lfl. 6 1 



Damit ist also nachgewiesen, daß die Bestimmung der all- 

 gemeinen Beziehung zwischen b und a in den vorigen Kapiteln in 

 der Tat bereits geschehen ist, und man braucht nur die graphische 

 Darstellung II auf Tafel II vollkommen auszuarbeiten, um darin 

 diese Beziehung ganz und gar zum Ausdruck zu bringen. Theore- 

 tisch müssen darin natürlich alle Reihen /, q schließlich in der 

 Abszissenachse endigen. 



Alle Punkte der Kurven dieser Gesamtdarstellung entsprechen 

 also den Werten von b und a, mit denen die Kreiskonstruktionen 

 auszuführen sind. Mit dieser Darstellung ist also auch die Frage 

 gelöst, die wir in Kap. II § 1 gestellt haben: anzugeben, um welche 

 „regelmäßigen Punktsysteme auf der abgerollten Zylinderfläche" die 

 gewünschten Kreiskonstruktionen möglich sind. 



§ 2. Die Lage der Parabeln in der Nähe eines drei- 

 zähligen Kontaktes. Obwohl sich die Lage der Kurven, die die 

 Beziehung zwischen b und a ausdrücken, aus der graphischen Dar- 

 stellung in der Hauptsache ablesen läßt, mögen doch die damit 

 verknüpften wichtigen Eigentümlichkeiten noch näher hervorgehoben 

 und die allgemeine Gültigkeit auch für die Teile, welche nicht in 

 unserer Figur vorkommen, nachgewiesen werden. 



Daß in dieser graphischen Darstellung in jedem Punkt, der 

 einem dreizähligen Kontakt ///, 7i und (/// + n) entspricht, drei Para- 

 beln zusammentreffen und zwar die, welche auf die Kontakte w 

 und 71, Dl und [)n^n) und n und {in -^ ii) Bezug haben, wurde 

 bereits in Kap. II § 6 besprochen, hier mögen nur noch einige Be- 

 merkungen über die „Lage" dieser drei Parabeln Platz finden. 



Läuft die ///-zeilige Spirale bei dem Kontakte /// und n der 

 Hauptspirale homodrom, so wird die Beziehung zwischen b und a 

 für diesen Kontakt ausgedrückt durch die P^ormel (4 a), und diese 

 stellt eine Parabel dar mit nach rechts laufenden Ästen. Aber 

 auch für den Kontakt /// und {ni + n) muß dann nach § 7 Kap. II 

 diese Formel 4a angewendet werden; dagegen wird für den Kon- 

 takt n und (/// + w) die Beziehung (4b) Gültigkeit haben, und diese 

 stellt eine Parabel dar mit nach links laufenden Ästen. 



Ist dagegen die ///-zeilige Spirale des Kontaktes /u und n der 

 Hauptspirale antidrom, so gilt dafür die Formel (4b), und dann 

 wird diese auch anzuwenden sein auf den Kontakt /// und (;// + n), 

 während für den Kontakt 7i und (/// + ^i) die Formel 4 a gebraucht 

 werden muß. 



Von den vier dreizähligen Kontakten: (n — m), in, n; ni, n 

 {vi-\-n); ni, {m-\-n), (2/// + ?/); ;/, (w + w), (ni-Y2n), liegt der erste 

 am höchsten, dann folgt der zweite, danach der dritte und endlich 

 der vierte. Dies wird deutlich werden, wenn man bedenkt, daß 

 der Wert von b- in allen diesen Fällen gefunden wird durch An- 

 wendung der Formeln 5 a oder 6 a. 



Daraus folgt dann, daß von dem Punkte aus, der den Kontakt 

 in, n und [in -[- n) darstellt, die Parabel für den Kontakt in und n 

 aufwärts läuft, diejenige für den Kontakt /// und (/// -\- n) und die- 

 jenige für n und (/// + n) beide abwärts laufen. 



Aus den Gleichungen der Parabeln läßt sich nun überdies 

 noch ableiten, daß in dem Punkte in, n und {in + n) die Parabel 

 für den Kontakt /// und {in -\- n) stets weniger steil ist als die beiden 

 anderen Parabeln. (Die Steilheit wird gemessen durch den Winkel, 



