Kap. V. Fortsetz. d. allgem. Betracht. üb. regelm. Kreissyst. a. e. Kreiszylfl. 63 



Im Punkte (/// — ii), /// und // {A) findet man jedoch auch 

 Anschluß an den Kontakt [n — ///) und ///. Diesem entspricht eine 

 Parabel mit nach links gerichteten Ästen. Er wird begrenzt 

 durch den dreizähligen Kontakt {2i>i — n), {n — iu) und ///, und in 

 diesem Punkt findet man wieder Anschluß an einen Kontakt 

 {2 m — n) und ///, der seinerseits begrenzt wird durch den dreizähligen 

 Kontakt {2i/i — n), >ii und (3//i — n) {B). Es wird wohl deutlich sein, 

 daß sich in diesem Punkte wieder eine ganze Serie Kontakte an- 

 schließt, die dargestellt werden können durch m und [X'm — n), wenn 

 ^' = 3, 4, 6, 7, 8 usw. ist. Die Äste aller dieser Parabeln sind nach 

 links gerichtet. Auch jetzt werden wir wieder diese Serie betrachten 

 als eine diskontinuierliche, von B ausgehende Kurve. Schließlich 

 muß auch diese in der Abszissenachse ihr Ende finden. 



Zuerst muß man nun darauf achten, daß wir die Kontakte in 

 unserer Figur so wählten, daß in allen der Wert /// vorkommt; 

 weiterhin wird es deutlich sein, daß aus jedem Eckpunkte der Figur 

 noch eine andere Parabel ausläuft als die, welche wir betrachteten, 

 daß aber in den Kontakten, welche diesen Parabeln entsprechen, 

 der Wert /// nicht angetroffen werden kann. Behält man dies im 

 Auge, so wird man sogleich in der graphischen Darstellung II Tafel II 

 Beispiele angeben können für die hier gemeinte Parabelserie. 



Wir werden nun nachweisen, daß die Reihe Parabeln, die von 

 A ausgeht und den Kontakten /// und {Xw + n) entspricht, in 

 demselben Punkte der Abszissenachse endigt wie die Reihe der 

 Parabeln, die von B ausgeht und den Kontakten w und {?,'/// — 7i) 

 entspricht. 



Bei der erstgenannten Serie Parabeln läuft die w-zeilige Spirale 

 der Hauptspirale homodrom, und gilt also Formel (4 a). Für 

 den Fall nun, daß A = oo wird, muß man darin n^=oo und d = o 



setzen und findet dann daraus a r= —^-360*^ als Punkt, in welchem 



;// 



die Serie Parabeln in der Abszissenachse endigt. 



Von der zweiten Serie Parabeln läuft die ///-zeilige Spirale der 

 Hauptspirale antidrom und darum ist also Formel (4b) anzuwenden, 

 die jedoch durch Hinzuziehung der Formel (2) auch in dieser Form 



/// fZ (X. 



geschrieben werden kann: = — («-' — w -) &- -\- 1^2 -^2n A„. 



Für den Fall, daß nun A' = oo wird, muß hierin ebenfalls n = oo 



und d=^o gesetzt werden und man findet also auch hier a = -^ • 360^ 



als den Punkt, in welchem die Serie Parabeln in der Abszissen- 

 achse endigt. 



Aus diesen Betrachtungen geht hervor, daß die Parabeln, die 

 den Kontakten entsprechen, deren eine Zahl immer /// ist, eine 

 Figur bilden, die der Form nach annähernd ein Viereck ist. Von 

 großem Interesse ist es nun, darauf zu achten, daß innerhalb dieser 

 Figur keine Parabeln der graphischen 'Darstellung angetroffen 

 werden können. 



Da 7u willkürlich angenommen wurde, kann man im allge- 

 meinen jeden Wert dafür einsetzen. Jedoch gibt es zwei Ausnahmen 

 bei diesen Betrachtungen und zwar für die Fälle, bei denen m = 1 

 oder /// — 2 ist. Es schließt sich ja dem dreizähligen Kontakte 0, 



