72 Erster Abschn. Einfache Systeme auf einer Kreiszylinderfläche. 



dieses Kreises beträgt f • -^9 = 47,8 mm und der Mittelpunkt liegt 



. 4 



auf der Verlängerung der Linie b a in einem Abstand von - • 39 



= 31,2 mm links von a. Auch die Kurve in Fig. 16 ebenderselben 

 Tafel und die verschiedenen Kurven auf der Tafel in Schwendeners 

 Abhandlung „Zur Theorie der Blattstellung" aus dem Jahre 1883 1), 

 sind alle Kreise, deren Mittelpunkte auf der Abszissenachse liegen. 



Natürlich wird die Art der Verschiebungskurve anders, wenn 

 man annimmt, daß der Durchmesser der Zylinderfläche sich ändert, 

 aber für unseren Zweck hat es kein Interesse, dies weiter zu ver- 

 folgen. Hier war die Hauptsache, nachzuweisen, daß, obwohl das 

 System der Verschiebungskurven mit dem der Parabeln aus der 

 graphischen Darstellung von der Beziehung zwischen b und a Über- 

 einstimmung zeigt, doch die Kurven beider Systeme grundver- 

 schieden sind. 



§ 9, Einige Zahlenbeziehungen. Zum Schlüsse müssen 

 hier noch einige Zahlenbeziehungen behandelt werden , die für 

 unsere späteren Betrachtungen wohl von Nutzen sind, obgleich sie 

 für die vorhergehenden ohne Bedeutung waren. 



Bezeichnen wir den Wert von b für den rechtwinkligen Kon- 

 takt /// und n mit b^ und den für den rechtwinkligen Kontakt n und 

 (/// + /2), d, h. also für den folgenden höheren rechtwinkligen Kon- 

 takt in der Reihe w, n, in-\-n, ni-^2n usw., mit bc,, so stellt sich 



bei der Berechnung des Quotienten .- für verschiedene Werte von 



b\ 

 III und II heraus, daß dieser sich umsomehr der „göttlichen Pro- 

 portion" 1 = 0,61803 .... nähert, je höhere Glieder der Reihe die 

 Zahlen /// und // sind. Um dies näher zu zeigen und Einsicht 



zu verschaffen in die Größe der Abweichung des Quotienten -~- 



von der Limite ;;; bei den niederen Gliedern, sind in Kolumne 3 

 der nachstehenden Tabellen die Werte dafür berechnet bei Gliedern 

 aus der Hauptreihe und bei solchen aus zwei Nebenreihen. 



Vergleicht man die Werte aus Tabelle VIT und VIII mit ein- 

 ander, so wird sogleich auffallen, daß darin dieselben Ausdrücke 



für den Quotienten -^ vorkommen; in Tabelle IX (S. 74) trifft man 



■^ /?, ^ 



dafür jedoch andere Größen an. Es sei hier nebenbei bemerkt, daß 

 die Gleichheit der Werte nur in der Hauptreihe und in der ersten 

 Nebenreihe gefunden wird, und daß in allen anderen Nebenreihen 

 Abweichungen davon vorkommen. 



In den drei verschiedenen Tabellen findet man sehr deutlich 



ausgedrückt, was oben von dem Quotienten -— gesagt wurde: für 



die niederen Werte ist die Annäherung an y^ bereits merkbar, bei 

 den höheren Gliedern wird sie immer deutlicher. 



Was wir nun durch Berechnung gefunden haben, läßt sich 

 auch mathematisch beweisen. Wir werden dazu zeigen, daß, wenn 



1) Sitzungsberichte der Berliner Akademie, 1883, S. 741. 



