Kap. VI. Regelm. Syst. tang. Ellipsen auf einer Kreiszylinderfläche. 75 



und (1 - x) (3 ;C - 1) = x' (2 - x) ')- «odaß: 



Limite -^ = X (31) 



ist. 



Aus dem Vorhergehenden folgt weiter noch, daß, wenn man 

 den Wert von d für den Kontakt (/// + n) und (/// + 2 n) mit d^ be- 

 zeichnet, die Beziehung gilt: 



Limite -^ = x' (32) 



Für niedere Kontakte ist die Abweichung von diesem Limit- 

 werte wieder » deutlich merkbar, wie aus der vierten Kolumne der 

 obenstehenden Tabellen abgelesen werden kann. 



Es ist klar, daß, wenn man mit d^ den Wert von ö für den 

 Kontakt {m-{-2n) und (2/// + 3«) bezeichnet, gelten wird: 



Limite -^ — y^ 



und in dieser Weise kann man weiter schließen. 



Was wir nun hier bei den Werten von ö für die rechtwink- 

 ligen Kontakte nachgewiesen haben, läßt sich auch in gleicher 

 Weise für die dreizähligen Kontakte beweisen. Sind d^ und d.^ die 

 Werte von d für zwei aufeinander folgende dreizählige Kontakte, 

 so gilt dafür die Beziehung (31) usw. Auch hier wird bei den 

 niederen dreizähligen Kontakten nur eine Annäherung des Quo- 

 tienten an den Limitwert gefunden. Für unseren Zweck werden 

 sich die Beziehungen für die rechtwinkligen Kontakte als wichtiger 

 herausstellen. 



Aus dem Gesagten geht noch hervor, welche wichtige Be- 

 deutung die „göttliche Proportion" für ein richtiges Verständnis der 

 graphischen Darstellung von der Beziehung zwischen d und a besitzt. 



Kapitel VI. Regelmäßige Systeme tangierender Ellipsen auf 



einer Kreiszylinderfläche. 



Bereits in § 1 Kap. II haben wir darauf hingewiesen, daß es 

 möglich ist, um die Punkte jedes regelmäßigen Punktsystems auf 

 einer abgerollten Zylinderfläche kongruente und parallel liegende 

 Ellipsen derart zu konstruieren, daß jede Ellipse von mindestens 

 vier anderen berührt wird, daß sie also zusammen ein „regelmäßiges 

 System tangierender Ellipsen" bilden. Um diese Konstruktion aus- 

 zuführen, braucht man nur zwei „zugeordnete" Richtungen in dem 

 Punktsystem aufzusuchen; wenn dies z. B. die //i- und die ^^-zeilige 



.0/// ,0;/ 1 1 11. 

 Spirale sind, so beschreibe man um mit -— und — ^ als halbe 



zugeordnete Durchmesser eine Ellipse und konstruiere danach auch 



1) So ist z. B. x'a-^X + '2x') =- X'(^-^X) =- Xi^x-^X"^ = 

 = X(^ X-4d = 7 ic'-ix^5x:--^X + 2. 



