76 Erster Abschn. Einfache Systeme auf einer Kreiszylinderfläche. . 



um alle anderen Punkte des Systems kongruente und parallel 

 liegende Ellipsen. Da unendlich viele zugeordnete Richtungen in 

 einem regelmäßigen Punktsystem nachzuweisen sind, kann man 

 auch unendlich viele, verschiedene regelmäßige Ellipsensysteme 

 um die Punkte konstruieren. Diese allgemeine Möglichkeit hört 

 jedoch auf, sobald man an die Art der Ellipsen bestimmte Be- 

 dingungen knüpft, z. B. wenn man verlangt, daß sie eine gegebene 

 Exzentrizität besitzen oder, daß eine der Achsen in einer gegebenen 

 Richtung läuft oder eine bestimmte Größe besitzt. 



Obwohl diese allgemeine Frage für unsere weiteren Betrach- 

 tungen keinen Wert besitzt, wollen wir doch nicht unterlassen, in 

 einem besonderen Falle nachzuweisen, wie unsere früheren Ab- 

 leitungen sich bei einer Ellipsenkonstruktion ändern. Wir nehmen 

 ein Beispiel, das bereits durch Schwendener in seiner Schrift 

 „Mechanische Theorie der Blattstellungen" besprochen wurde, um 

 unseren- Standpunkt neben dem dieses Forschers auseinandersetzen 

 zu können. 



Denkt man sich bei einem regelmäßigen Kreissystem auf einer 

 abgerollten Zylinderfläche die Zeichnung über einen bestimmten 

 Winkel um eine horizontale Linie gedreht und darauf die Zeich- 

 nung auf die ursprüngliche Fläche zurück projiziert. Die Projektion 

 des ursprünglichen Punktsystems bildet dann ein neues regel- 

 mäßiges Punktsystem und um die Punkte dieses letzteren wird in 

 der Projektion ein regelmäßiges System tangierender Ellipsen vor- 

 handen sein, deren große Achsen horizontal gerichtet sind. Hätte 

 man die Drehung um eine vertikale Linie ausgeführt, so würde 

 man ein System tangierender Ellipsen erhalten haben, deren große 

 Achsen vertikal stehen. In beiden Fällen zeigt das Ellipsensystem 

 dieselbe Divergenz und dieselben Kontakte wie das ursprüngliche 

 Kreissystem ^). Nennt man in dem Ellipsensystem das Verhältnis 

 zwischen dem horizontalen Ellipsendurchmesser und dem Zylinder- 

 umfange wieder /;, dann hat auch b hier dieselbe Größe wie bei 

 dem Kreissystem. 



Da nun umgekehrt jedes System von Ellipsen, deren eine 

 Achse horizontal läuft, immer als die Projektion eines regelmäßigen 

 Kreissystems betrachtet werden kann mit demselben Kontakte, der- 

 selben Divergenz und demselben Werte von h, so wird auch für 

 solche Ellipsensysteme die Beziehung zwischen a und h durch die- 

 selben Formeln und durch dieselbe graphische Darstellung aus- 

 gedrückt, wie für die regelmäßigen Kreissysteme. Alle Eigen- 

 schaften, die wir oben für die Kreissysteme ableiteten, gelten also 

 auch für die regelmäßigen Elhpsensysteme. Mit der Auffassung 

 von Schwendener, daß dies auch für Systeme mit anderen ge- 

 schlossenen symmetrischen Figuren gelten soll, deren Symmetrieachsen 

 horizontal und vertikal laufen (s. S. 33 seiner Mechanischen Theorie), 

 kann ich mich nicht einverstanden erklären. 



Ellipsens3'steme, deren Ellipsenachsen nicht horizontal und 

 vertikal laufen, werden bei demselben Kontakte und demselben 

 Werte von b andere Divergenzen zeigen als diejenigen , bei denen 

 die Ellipsenachsen wohl so gestellt sind. Die dreizähligen Kontakte 

 z. B. besitzen in einem solchen Systeme andere Divergenzen. Es sei 



1) Schwendener hat hierfür auch noch einen direkten Beweis gegeben. 



