Kap. VII. Regelm. Syst. tang. Kugeln, deren Mittelp. a. e. Kreiszylfl. liegen. 7 7 



jedoch darauf hingewiesen , daß , je höhere Kontakte betrachtet 

 werden, eine desto größere Annäherung an die Divergenzen der 

 Kreiskonstraktionen erreicht werden muß, während man stets die- 

 selben Limitwerte erhalten wird, wenn man Kontakte betrachtet, die 

 durch unendlich große aufeinander folgende Zahlen aus ein und 

 derselben Kontaktreihe ausgedrückt werden. Dies folgt aus der 

 Überlegung, daß die Annäherungswerte für die Divergenz, die wir 

 in § 9 Kap. I abgeleitet haben, sowie die Limit werte für die Diver- 

 genz, die wir in § 10 Kap. III und in § 12 Kap. IV ableiteten, 

 gefunden wurden, ohne daß wir irgend eine Annahme machten 

 über die Form der Figuren, die um die Punkte des Punktsystems 

 beschrieben waren. (Man vergleiche S. 45.) 



Kapitel VII. Regelmäßige Systeme tangierender Kugeln, deren 

 Mittelpunkte auf einer Kreiszylinderfläche liegen. Zylindrische 



Kugelsäulen. 



§ 1. Fragestellung. Denkt man sich um die Punkte eines 

 regelmäßigen Punktsystems auf einer Kreiszylinderfiäche Kugeln 

 mit gleichem Radius beschrieben, so wird es im allgemeinen nicht 

 möglich sein, einen solchen Radius für diese Kugeln zu wählen, 

 daß jede von vier oder sechs anderen berührt wird, ohne daß die 

 Kugelflächen sich schneiden. 



Und doch werden wir nachweisen, daß regelmäßige Punkt- 

 systeme auf einer Kreiszylinderfläche anzugeben sind, bei denen 

 solche Kugelsysteme sich wohl konstruieren lassen. Dabei wird dann 

 jede Kugel auf zwei oder drei anderen ruhen und als Stütze von 

 zwei oder drei anderen gleichen Kugeln dienen. Einem solchen 

 Systeme werden wir den Namen zylindrische Kugelsäule geben. 



Hier besprechen wir wieder ausschließlich Punktsysteme, bei 

 denen eine Hauptspirale vorkommt, sodaß wir eine kontinuierliche 

 Numerierung der Punkte ausführen können. 



Betrachten wir in einem solchen Systeme die Punkte /// und 

 n , die am nächsten beim Punkt liegen (der Abstand ist auf 

 der abgerollten Zylinderfläche zu messen), sodaß die ///- und die 

 72-zeilige Spirale „zugeordnete" Spiralen bilden, dann läuft die oben 

 gestellte Frage darauf hinaus, daß wir die Bedingungen zu er- 

 forschen uns bemühen, die in einem regelmäßigen Punktsystem 

 erfüllt sein müssen, damit um eine Kugel beschrieben werden 

 kann, welche gleiche Kugeln um die Punkte /// und n berührt. 

 Es leuchtet ein , daß dann auch die Kugel um /// eine gleiche 

 Kugel um 2 ;// berühren muß, und diese wieder eine solche um 

 3 /// usw. Man wird also bei einem derartigen System eine Serie 

 sich berührender Kugeln finden müssen , deren Mittelpunkte auf 

 einer Schraubenlinie liegen, und zwar werden sich in derselben 

 Richtung /// derartige parallele Kontaktreihen finden müssen und 

 in einer anderen Richtung n. Wir sprechen in diesem Falle wieder 

 vom Kontakte in der Richtung der ///- und der ;^-zeiligen Spirale, 

 oder kurzweg vom zweizähligen Kontakt ui und )i. 



