Kap. VII. Regelm. Syst. tang. Kugeln, deren Mittelp. a. e. Kreiszylfl. liegen. 7 9 

 und da zl,„ stets eine ganze Zahl ist: 



Der wirkliche Abstand A P des Punktes von /// ist also: 



AP=- 1/ i?2 j,i-i ^i tgißJ^\ Ri sin-^ 



m a 



2 



Nimmt man an, daß um den Punkt eine Kugel be- 

 schrieben ist, und stellt man die Bedingung auf, daß diese eine 

 zweite gleiche Kugel um Punkt /// berühren soll, dann wird diese 

 Berührung in der Mitte der Linie A P geschehen, und es wird A P 

 gleich dem doppelten Radius dieser Kugel sein. Diesen Radius 

 bezeichnen wir mit r. Es wird dann: 



yffl nr 



Setzt man außerdem noch als Bedingung fest, daß die um be- 

 schriebene Kugel auch die gleiche um Punkt n beschriebene Kugel 

 berühren soll, so findet man auf genau dieselbe Weise: 



2 r =r 1/^2 ^^2 «2 1^2 ß^4_R2 sin'^ ^ 



Man kann also als Bedingung dafür, daß die Kugel um 

 gleichzeitig gleiche Kugeln, die m und ?i umschrieben sind, berührt, 

 schreiben : 



r 1 /w'"a2/cr2^ ;// a 1 1 n'^ (x.^ t^'^ ß , . , na. ,.jox 



R = M 4^ + ^'"^ -T = y 4 +^'" ~Y *'^^* 



Aus diesen beiden Gleichheiten läßt sich noch die folgende 

 ableiten : 



^ a2 tg^- ß = sm2 -^ - sm2 ^ (34a) 



oder: 



(n — m) {n + ^«) , . „ ^ . m-{-n . n — m ',... 



4 — oc^rg^ß = — sm — - — a sm — - — a {64) 



4 2 ii 



Diese Gleichung gibt die Beziehung an, welche zwischen den 

 Größen a und ß bestehen muß, damit die Kugelsäule mit dem Kon- 

 takt ///' und n um die Punkte beschrieben werden kann. Bei jedem 

 Werte von a ergibt Formel (34) einen dazu gehörenden Wert 

 von ß, und da durch diese beiden Größen das regelmäßige Punkt- 

 system auf der Kreiszylinderfläche vollkommen bestimmt ist, so 

 wäre damit die in § 1 gestellte Frage gelöst: solche Punkt- 

 systeme anzugeben, um deren Punkte die gewünschte Kugelsäulen- 

 konstruktion möglich ist. Der Wert von r bei einem gegebenen 

 Wert von P wird durch Gleichung (38) bestimmt und umgekehrt. 



Dennoch ist es nicht hinreichend, daß a und ß der Gleichung (34) 

 genügen , um mit diesen Werten Kugelsäulen konstruieren zu 

 können, in denen ausschließlich Berührungen und keine Schnitte 

 von Kugeln vorkommen. 



Denkt man sich ein Punktsystem, das der Bedingung (34) 

 entspricht, gleichzeitig mit der Zylinderfläche auf einer Ebene ab- 

 gerollt, dann werden die Punkte o, m, n und (;// + n) ein Parallelo- 

 gramm bilden, ebenso wie die Punkte o, ?n, n und [n — m), und 



