80 Erster Abschn. Einfache Systeme auf einer Kreiszvlinderfläche. 



innerhalb dieser Vierecke wird kein einziger Punkt des Systems zu 

 finden sein (die ///- und //-zeilige Spirale waren ja zugeordnet). 

 Daraus folgt, daß die einzige Bedingung, die erfüllt werden muß, 

 wenn man wirklich eine Kugelsäule ohne Schnitt der Kugeln kon- 

 struieren will, lautet: der „wirkliche" Abstand von o bis {in -]- n) und 

 der von o bis (;z — in) muß größer als der Durchmesser der Kugeln 

 und höchstens ihm gleich sein. Denn ist diese Bedingung erfüllt, so 

 kann kein Durchschneiden der Kugel mit den Kugeln [in -\- n) oder 

 [n — in) stattfinden, aber auch nicht mit irgend einer anderen Kugel. 



Die Werte von a und ß, die Punktsystemen entsprechen, um 

 deren Punkte eine Konstruktion von Kugelsäulen möglich ist, bei 

 denen die Kugeln sich nicht schneiden, werden zwischen denjenigen 

 Werten dieser Größen liegen, welche für den dreizähligen Kontakt 

 ;//, n und (/// + n) und den dreizähligen Kontakt [n — in), in und ;/ gelten. 



§ 3. Ableitung der Formeln für dreizählige Kon- 

 takte. Wir bemerken, daß die Werte von a und ß, die für den 

 Kontakt ///, f? und [in -\- Ji) gelten, sowohl der Gleichung genügen 

 müssen, welche für den Kontakt /// und n gilt, als auch der- 

 jenigen, welche für den Kontakt n und [ni -\- 12) gültig ist, d. h. also 

 den folgenden zweien: 



[n + ///) [n — in) ^ . in-\-n . n — m 



-^ OL- fp^ß= — sm — ^r — asm — -; — a 



4 ^ ^ 2 2 



[2n+ in) ni . 2n^in . ni 



a.~ /p-2 /5 = — sm a sm — a 



4 "^ ' 2 2 



Durch Division dieser beiden Gleichungen ergibt sich: 



. in -\-n . n — /// 

 [n + ///) [n — 111) 2 2 



(2n-\- m) m . 2n-\- m . w 

 sin a sm — a 



(36 a) 



und diese Beziehung ermöglicht uns, denjenigen Wert von a zu 

 finden, der dem Kontakte ///, n und (///-f«) entspricht. 



Ebenso finden wir, daß der Wert von a, der zu dem Kontakt 

 [n — in)y in und n gehört, gegeben wird durch die Beziehung: 



. 2iii — n . 11 

 sm ^ a sm — a 



'^ '"-"'" = ? 2_ 



m (m + n) . in . m-\- n 



sm - a sm - — - — a 



Die Werte von a, welche zwischen denen liegen, welche aus 

 36a und 36b folgen, sind also solche, für die eine Kugelsäule 

 mit dem Kontakte ni und // ohne Schnitt von Kugeln möglich ist. 



i^ 4. Die Beziehung zwischen d und a. Sind einmal 

 die Werte von a und ß für ein Punktsystem, um dessen Punkte 

 eine Kugelsäule möglich ist, bekannt, so ergibt die Gleichung (33) 



den Wert von -^ , d. i. das Verhältnis des Kugelradius zu dem 



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des Zylinders. Wir können also für jeden Wert von a den 

 dazu gehörigen Wert von — berechnen, und zwar dadurch, daß 

 wir erst mit Hilfe von Formel (34) die zugehörigen Werte von ß 



