Kap. VII. Regelm. Syst. tang. Kugeln, deren Mittelp. a. e. Kreiszylfl. liegen. 8Sl 



von ni und n die Gleichung (38) und (89) aufgestellt findet. Die 

 graphische Darstellung der Gleichungen (38) findet man als Fig. I 

 auf Tafel II; sie ist in demselben Maßstab abgebildet wie die gra- 

 phische Darstellung II auf dieser Tafel, welche letzte die Beziehung 

 zwischen x und b für die zweizähligen Kontakte bei den Kreis- 

 konstruktionen angibt. Bei einer oberflächlichen Betrachtung fällt 

 eine große Übereinstimmung zwischen beiden Darstellungen auf, aber 

 bei näherer Prüfung findet man wichtige Unterschiede an ihnen. 



Die graphische Darstellung für die Kugelsäulen beginnt in 

 dem Punkte, welcher bezeichnet ist mit 1, 1 und 2, jedoch muß 

 hierbei bedacht werden, daß der Kontakt 1 und 1 bei diesen Säulen 

 nicht zu realisieren ist, denn das Auftreten dieses Kontaktes würde 

 ja bedeuten, daß Kugel zwei Kontaktpunkte mit Kugel 1 besitzt, 

 und das ist absurd. Auch der Kontakt und 1 ist hier unmöglich, 

 denn Kugel kann nicht mit sich selbst in Kontakt treten. Dennoch 

 könnte man sich die Frage vorlegen, was denn geschehen würde, 



wenn wir die Kugelsäule mit immer größerem Werte für b [= — = j 



konstruierten. Man kann sich nämlich denken, daß dem Kontakt 1 

 und 2 eine ganze Reihe Kontaktfälle vorhergehen, wobei ein ein- 

 zähliger anstatt eines zweizähligen Kontaktes besteht. Wir kommen 

 hierauf später zurück. 



Wie uns die Berechnung lehrt, wird der Punkt, welcher in 

 der graphischen Darstellung für die Kugelsäulen dem Kontakt 1, 

 1 und 2 entspricht, bedeutend niedriger liegen als der entsprechende 

 Punkt bei der graphischen Darstellung für die Kreiskonstruktionen. 

 Von diesem Punkte aus nehmen jedoch die Linien einen Verlauf, 

 der in beiden graphischen Darstellungen große Übereinstimmung 

 zeigt, obgleich anfänglich bei der graphischen Darstellung für die 

 Kugelsäulen die dreizähligen Kontakte näher an der Ordinaten für 

 die Limitdivergenz liegen. 



In der Darstellung II Tafel III findet man die „Verschiebungs- 

 kurven" für den Mittelpunkt der Kugel 1 abgebildet. Ihr Maßstab 

 ist derselbe wie die von der graphischen Darstellung I derselben Tafel, 

 welche für die Verschiebungskurven für den Mittelpunkt des Kreises 1, 

 bei den Kreiskonstruktionen gilt. Eine Vergleichung der beiden ge- 

 nannten Darstellungen zeigt einige Abweichungen. Zunächst fehlt 

 hier die Gerade, welche bei der Kreiskonstruktion dem Kontakt 1 und 1 

 entspricht, oder kann nur theoretische Bedeutung besitzen. Weiter 

 läuft die Kurve, welche dem Kontakte 1 und 2 entspricht, hier in 

 dem Punkte 1, 1 und 2 horizontal. Man kann nämlich mit Hilfe der 

 Differentialrechnung leicht nachweisen, daß diese Kurve ein Maximum 

 zeigt für a = 180<*. Im Punkte 1, 2 und 3 kann Punkt 1 sich ent- 

 weder längs der Kurve 2 und 3 „abwärts" bewegen, oder längs der 

 Kurve 1 und 3 „aufwärts", obwohl in beiden Fällen b dabei abnimmt 

 (es zeigt ja in der graphischen Darstellung I Tafel II die Kurve für 

 den Kontakt 1 und 3 keine Steigung hnks vom Punkte 1, 2 und 3). 

 Diese Betrachtung läßt sich wie folgt verallgemeinen. Geht man von 

 einem Kontakt in und 7i aus, so kann man durch kontinuierliche Ab- 

 nahme von b stets in einer Reihe m, n, m + n, m + 2n, 2m-\-Sn usw. 

 bleiben, aber auch in eine andere Reihe übergehen. Jedoch muß man 

 im letzten Fall mit Punkt 1 aufwärts steigen, während im ersten Fall 



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