Kap. VII. Regelm. Syst. tang. Kugeln, deren Mittelp.a.e.Kreiszylfl. liegen. 89 



auf der sich die Mittelpunkte der Kugeln befinden müssen. Weiter 

 hat man dann von einem Punkte aus, auf den Kreisumfang, der 

 die horizontale Projektion darstellt, eine Reihe Punkte 1, 2, 3, 4 usw. 

 abzutragen, so daß diese Punkte vom Mittelpunkte aus betrachtet 

 einen Winkelabstand a zeigen. Damit ist die horizontale Projektion 

 der Kugelmittelpunkte gefunden. Wenn man nun in der vertikalen 

 Projektion eine Schraubenlinie mit der Steighöhe ß anfertigt, und 

 dabei beachtet, daß die vertikalen Projektionen der Kugelmittel- 

 punkte in diese Linie fallen müssen und daß die horizontalen Pro- 

 jektionen bereits bekannt sind, so kann man auch die vertikalen 

 angeben. Beschreibt man nun um diese Punkte Kreise mit dem 

 Radius r, und bedenkt man dabei, wie die Kugeln vor oder hinter 

 einander liegen, so erhält man Figuren, wie auf Tafel IV mehrere 

 dargestellt sind. 



In allen Kugelsäulen dieser Tafel ist die Hauptspirale rechts 

 gewunden angenommen. 



Die einfachste Kugelsäule mit dreizähligem Kontakt ist die 

 mit dem Kontakt 1, 2 und 3, welche in Fig. 5 abgebildet ist. Läßt 

 man, hiervon ausgehend, d abnehmen, d. h. J^ zunehmen, so können 

 eine Reihe darauf folgende Kugelsäulen durchlaufen werden. Läßt 

 man i? abnehmen, so werden Kontaktfälle mit dem Kontakte 1 

 und 2 durchlaufen, von denen einer in Fig. 4 abgebildet ist, welcher 



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 dem Wert a = ^-360° =: 144^ entspricht. Bei weiterer Abnahme 



von R wird nun schließlich der Fall erreicht werden, der in Fig. 3 

 abgebildet ist, und in welchem die Kugeln in zwei vertikalen Reihen 

 aufgestellt sind, die nebeneinander stehen. Eine noch weitere Abnahme 

 von R ist nicht möglich, ohne daß der 2-zählige Kontakt aufgehoben 

 wird. Der Fall aus Fig. 3 schließt also die Kontaktfälle 1 und 2 

 ab. Bei den Kreiskonstruktionen fanden wir für diesen Fall den 

 Kontakt 1, 1 und 2 und es muß auffallen, daß der Fall aus Fig. 3 

 mit diesem letzten Kontakte große Übereinstimmung zeigt. In 

 unserer graphischen Darstellung ist der Punkt, der diesem Kontakte 

 entspricht, auch bezeichnet als Kontakt 1, 1 und 2, was sich durch 

 die Annahme verteidigen ließe, daß der 1-zählige Kontakt hier 

 doppelt gezählt werden kann. 



Es ist ferner hier zu beachten, daß, wenn man R noch kleiner 

 nimmt als in Fig. 3, zwar der zweizählige Kontakt aufgehoben wird, 

 aber der einzählige Kontakt, der nun auftritt, bei einem gegebenen 

 Wert von d ganz bestimmt ist, während dies bei einzähligen Kon- 

 takten , bei denen R größer ist, als in Fig. 3 , nicht der Fall ist. 

 Für die kleinen Werte von R können ja allein Kontaktfälle mit 



der Divergenz ISO*' konstruiert werden. Hierfür ist Fig. 2 ein Bei- 



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 spiel, wobei r =^ 2 R und also 3 = — = 0,6366 angenommen ist. Be- 



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rücksichtigt man diese einzähligen Kontaktfälle, so muß man Fig. 1, 

 d. i. eine Säule, die aus einer Reihe tangierender Kugeln besteht, 

 als Ausgangspunkt aller Kugelsäulen annehmen; wir werden sogleich 

 noch ein Argument anführen, das dafür spricht. Betrachtet man aber 

 ausschließlich zwei- und dreizähhge Kontakte, so ist Fig. 3 der Aus- 

 gangspunkt dafür. 



Die Figuren 4 bis 11 stellen zwei- und dreizählige Kontakte 

 aus der Hauptreihe dar, und zwar ist in jeder folgenden Figur der 



