Kap. I. Ähnliche Punktsysteme auf einer Ebene. 97 



büschel auf der festen und auf der beweglichen Ebene wieder 

 kongruent und durch eine Drehung um Co zur Deckung zu bringen 

 sein. Diese Drehung muß mit demselben Winkel 9 ausgeführt 

 werden und zwar in entgegengesetzter Richtung als bei der vorigen 

 Deckbewegung. 



Der Punkt d^, muß also derart liegen, daß: 



Cg dp Co "rl 



Co bo ao b„ 



ist, während außerdem i_x = l^ß sein muß. 



Im allgemeinen kann man also sagen, daß, wenn do und Co zwei 

 Punkte des Systems sind, noch zwei andere Punkte a„ und d„ zu 

 finden sein müssen, die so gelegen sind, daß 



ao bo _ Co bo 



und daß der Winkel zwischen üo bo und A- Cg gleich ist dem Winkel 

 zwischen bo Co und Co do. 



Aber auch bei den Punken Co und d„ muß man zwei Punkte 

 bo und Co finden können, die entsprechend liegen, ebenso bei den 

 Punkten do und ^„ zwei Punkte Co und fo. Diese Schlüsse sind bis 

 ins Unendliche fortzusetzen. 



Nun ergibt sich unmittelbar aus den Eigenschaften der loga- 

 rithmischen Spirale, daß dann die Punktserie «,„ bg, Cg, dg, Cg usw. 

 auf einer und derselben logarithmischen Spirale liegt. 



Weil die Punkte <?„ und bg beliebig gewählt wurden, kann 

 man durch je zwei Punkte des Punktsystems eine solche Spirale 

 ziehen, auf der eine Reihe Punkte angetroffen werden muß. Hier- 

 mit ist also die wichtige Eigenschaft erwiesen, daß in einem 

 ähnlichen Punktsystem unendlich lange Punktreihen auf 

 logarithmischen Spiralen gelegen sind. 



Es besteht die Möglichkeit, daß die oben betrachtete Spirale, 

 welche die Punkte üg, bg, Cg, dg, <?„ usw. enthält, alle Punkte des Systems 

 in sich schließt, jedoch wird das im allgemeinen nicht der Fall sein. 

 Nehmen wir an, bg' (siehe Fig. 19) sei ein solcher Punkt des Systems, 

 der nicht in der Spirale liegt. Man denke sich nun wieder den 

 Punkt b des beweglichen vSystems von bg nach Cg übertragen und 

 darauf das bewegliche System so aufgestellt, daß es das feste deckt. 

 Hierfür ist, wie wir gesehen haben, eine Drehung um einen Winkel 



bg Cg 



99 um den Punkt Cg nötig, sowie eine Vergrößerung " • 



Der Punkt b' des beweglichen Systems, der ursprünglich mit 



bg' des festen zusammenfiel, muß nun bei der Deckbewegung auf 



einen neuen Punkt Cg' des festen gekommen sein. Wenn also irgend 



ein Punkt bg' außerhalb der genannten Spirale liegt, so muß auch 



ein Punkt Cg' nachzuweisen sein, welcher ebenfalls außerhalb der 



c c ^ b c 



Spirale liegt und zwar, wie man gleich einsieht so, daß ," ," = — '^^ 



bg bg' üg bg 



und daß der Winkel, den Cg' Cg mit Cg bg einschließt, gleich ist dem 

 Winkel, welchen bg ' bg mit bg ag bildet. 



In völlig gleicher Weise schließt man weiter, daß noch ein 

 Punkt dg' zu finden sein muß, welcher zu dg so gelegen ist, wie 

 Cg' zu Cg. Diese Schlußweise läßt sich wieder beliebig fortsetzen. 



Iterson, Studien über Blattstellungen. 7 



