98 Zweiter Abschn. Einfache Systeme auf einer Ebene. 



Man kann also folgende Regel aufstellen: Befindet sich außer- 

 halb einer Punktreihe, die auf derselben logarithmischen Spirale 

 gelegen ist, noch ein anderer Punkt bj in dem System, dann findet 

 man eine unendliche Reihe anderer Punkte desselben auf diese Weise: 

 Man verbindet den Punkt b,' mit einem beliebigen Systempunkt bo 

 der logarithmischen Spirale. Diese Verbindungslinie bildet einen ge- 

 wissen Winkel mit der Linie, die den beliebigen Punkt b„ der 

 Spirale mit dem folgenden auf derselben a„ verbindet. Man zieht 

 nun von allen Punkten auf der Spirale c,„ d,„ e,„ usw. Linien, die 

 denselben Winkel bilden mit der Verbindungslinie dieser Punkte und 

 der betreffenden folgenden, also mit c^ b,„ d,, Co, e^, d„, usw. Auf 

 den von den Punkten der Spirale aus gezogenen Linien trägt man 

 Stücke r„ c„', ddj, eco, usw. ab, die dasselbe Verhältnis zu einander 

 haben wie die Verbindungslinien der betreffenden Punkte auf der 

 logarithmischen Spirale. 



Man kann leicht beweisen, daß diese neue Punktreihe auf 

 einer logarithmischen Spirale liegen muß, die mit der ersten kon- 

 gruent ist und mit ihr das Zentrum O gemeinsam hat. Wenn man 

 die erste logarithmische Spirale sich um einen gewissen Winkel ö 

 um den Pol O drehen läßt, so fällt sie mit der zweiten zusammen. 

 (Die Punkte des Punktsystems auf beiden Spiralen decken sich 

 jedoch im allgemeinen alsdann nicht.) 



Aus dem Vorhergehenden ergibt sich weiter, daß, wenn 

 ein Punkt bj außerhalb der ersten angegebenen Spirale liegt, im 

 allgemeinen noch ein zweiter Punkt bo" außerhalb derselben und 

 außerhalb der Spirale durch bj liegen muß (siehe Fig. 19). Auf ganz 

 gleiche Weise wie oben für die zweite Spirale schließt man dann weiter, 

 daß durch bj' eine dritte Spirale gehen muß, worauf eine Punkt- 

 reihe des Systems liegt. Diese Spirale muß den beiden vorher- 

 gehenden wieder kongruent sein; man konstruiert sie, indem man 

 die zweite Spirale um den genannten Winkel Ö um das Zentrum 

 O dreht. 



Ohne weiteres ist einzusehen, daß auf diese Weise noch eine 

 vierte, fünfte Spirale usw. zu finden ist, wenn man wenigstens nicht 

 in den konstruierten Spiralen bereits alle Punkte des Systems auf- 

 genommen hat. 



Durch jeden Punkt eines ähnlichen Punktsystems muß also 

 nach dem Vorhergehenden eine logarithmische Spirale zu kon- 

 struieren sein, welche kongruent ist mit der zuerst gefundenen, 

 denselben Zentrum besitzt und auf welcher eine unendliche Reihe 

 von Punkten des Systems gelegen ist. Hieraus läßt sich schließen, 

 daß man zwei solche Spiralen nachweisen kann, zwischen denen 

 kein einziger Punkt des Systems liegt; denn sobald dazwischen 

 noch ein Punkt läge, so würde man dadurch wieder eine kongruente 

 Spirale ziehen können. Nehmen wir nun an, daß die oben als 

 erste und zweite Spirale bezeichneten Kurven zwei solche Spiralen 

 sind, zwischen denen sich kein einziger Punkt des Systems befindet, 



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 dann muß Q ohne Rest in .')G0<> enthalten sein, also durch 



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dargestellt werden können, worin /// eine ganze Zahl ist. Wäre 

 dies nämlich nicht der Fall, so würde man, wenn man eine der 

 beiden Spiralen genügend oft um einen Winkel ^ bewegen und 



