Kap. I. Ähnliche Punktsysteme auf einer Ebene. 99 



jedesmal eine neue Punktreihe passieren ließe, schließlich auch 

 zwischen den beiden ersten Spiralen eine Punktreihe finden müssen, 

 was mit der Voraussetzung- in Widerspruch steht. 



Hieraus folgt, daß alle Punkte des Systems auf m parallelen 

 Spiralen mit demselben Zentrum zu ordnen sein müssen, welche 

 alle so liegen, daß man durch Drehung irgend einer Spirale um 

 einen Winkel 9 um das gemeinschaftliche Zentrum diese Kurve mit 

 der folgenden Spirale zur Deckung bringt. 



Eine solche Serie logarithmischer Spiralen werden wir eine 

 Spiralenschar nennen. 



Wir machen ferner darauf aufmerksam, daß man sehr leicht 

 beweisen kann, daß auch die Punkte b,,, b,/, b„" usw. alle auf einer 

 logarithmischen Spirale liegen, die nicht mit den Spiralen der eben 

 besprochenen Schar kongruent ist, aber mit diesen wohl das Zen- 

 trum gemeinsam hat. Durch die Punkte c^, c,/, c^" usw. läuft eine 

 Spirale, die mit der durch b„, b,,', b„" usw. kongruent ist und ebenfalls 

 dasselbe Zentrum besitzt. Sind diese beiden Spiralen solche, zwischen 

 w^elchen sich kein einziger Punkt des Systems befindet, so sieht man 

 leicht ein, daß es auch eine ganze Anzahl, z. B. 7i, solcher Spiralen geben 



muß, die zu einander so Hegen, daß nach Drehung um einen Winkel 

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von eine Spirale die folgende deckt. Sie bilden also wieder 



eine Spiralenschar. Die Schnittpunkte der Spiralen dieser Schar mit 

 den der vorigen fallen alle mit Punkten des Systems zusammen, 

 andere Punkte sind darin nicht vorhanden. 



Man kann also jedes ähnliche Punktsystem auf einer 

 Ebene als das System der Schnittpunkte von zwei loga- 

 rithmischen Spiralscharen betrachten, die dasselbe Zen- 

 trum besitzen. 



§ 3. Die logarithmische Spirale. Da diese Kurve in den 

 nachfolgenden Betrachtungen wiederholt zur Sprache kommen wird 

 und in den elementaren Lehrbüchern der Geometrie meist nur kurz 

 besprochen wird, so wollen wir hier auf ihre Haupteigenschaften 

 etwas näher eingehen. 



1. Die logarithmische Spirale, deren Zentrum zusammenfällt mit dem 

 Ursprung des Koordinatsystems, wird dargestellt durch die Formel q ^ Ce^ f\ 

 worin q der Radius vector ist und (p der Winkel, welchen dieser Leitstrahl 

 mit der Achse A^ bildet. Dieser Winkel wird von der Achse nach dem 

 Leitstrahl zu in einer Richtung gemessen, die dem Lauf des Uhrzeigers 

 entgegengesetzt ist. 



2. Nimmt man auf einer solchen logarithmischen Spirale zwei Punkte, 

 deren Leitstrahlen einen Winkel (f> einschließen, so ist das Verhältnis dieser 



Radii vectores e^ 'P . Umgekehrt läßt sich aus dem Verhältnis e ^ 9' zweier 

 Radien auf den von ihnen gebildeten Winkel 99 schließen. Zieht man eine 

 Reihe von Leitstrahlen, die den gleichen Winkel miteinander bilden, so 

 werden die Längen dieser Radien eine geometrische Reihe bilden. 



3. Die logarithmische Spirale läuft unendlich oft um das Zentrum, er- 

 reicht dieses jedoch niemals; dieses Zentrum stellt nämlich den asymptotischen 

 Punkt der Kurve dar. 



4. Ein und derselbe Leitstrahl schneidet die Spirale unendlich oft; 

 die Abstände vom Zentrum nach den Schnittpunkten bilden eine geo- 

 metrische Reihe. 



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