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Zweiter Abschn. Einfache Systeme auf einer Ebene. 



Fi^. 20 



5. Wir nennen eine logarithmische Spirale rechtsgewunden, wenn der 

 Leitstrahl, den man nach einem Punkte zieht, welcher auf der Spirale von 

 innen nach außen läuft, sich in dem Sinne des Uhrzeigers bewegt. Bewegt 

 sich aber der Leitstrahl dabei in der entgegengesetzten Richtung wie die 

 Uhrzeiger, so nennen wir die Spirale linksgewunden. Die Spirale in Fig. 20 

 ist also rechtsgewunden. 



6. Die Formel q = Ce'^^' wird einer linksgewundenen Spirale ent- 

 sprechen, wenn q positiv ist, einer rechtsgewundenen, wenn <] negativ ist. 



7. Der Winkel, welchen der verlängerte Leitstrahl nach einem Punkte 

 der Spirale mit der Tangente in diesem Punkte bildet, ist für alle Punkte 



der Spirale derselbe. Be- 

 zeichnet man diesen W^inkel 



mit //, dann ist ti^ p. = — , 



<1 

 vorausgesetzt, daß man p 



von dem verlängerten Leit- 

 strahl aus nach der Tangente 

 in einer Richtung rechnet, 

 welche der des Uhrzeigers 

 entgegengesetzt ist. Man 

 spricht in diesem Falle von 

 einer logar i thmisch en 

 Spirale unter dem 

 Winkel /<. 



Für eine linksgewundene 

 Spirale ist /i spitz, für eine 

 rechtsgewundene stumpf. 



8. Sieht man von der Rich- 

 tung der Spirale ab, dann kann 

 man unter der „Neigung" 

 der logarithmischen 

 Spirale den „spitzen" Winkel 

 verstehen, der sich zwischen dem verlängerten Leitstrahl und der Tangente 

 befindet. Die Neigung wird also gefunden, indem man den absoluten Wert 



von q bei der Berechnung von h in der Formel : tg ^/, ^ — benutzt. 



9. Logarithmische Spiralen unter demselben Winkel sind kongruent. 

 Besitzen sie ein und dasselbe Zentrum, tlann schneiden sie einander nie- 

 mals und man nennt sie dann parallele logarithmischc Spiralen. 



10. Durch Vergrößerung oder Verkleinerung einer logarithmischen 

 Spirale erhält man stets eine kongruente Spirale. 



11. Zwei nicht kongruente logarithmische Spiralen mit ein und dem- 

 .selben Zentrum schneiden einander unendlich oft. Die Leitstrahlen nach 

 den Schnittpunkten bilden eine geometrische Reihe; die Winkel, welche die 

 aufeinander folgenden Leitstrahlen miteinander bilden , sind gleich. Die 

 Schnittj)unkte liegen also wieder auf einer logarithmischen Spirale. 



12. Durch einen Punkt läßt sich nur eine logarithmische Spirale 

 unter einem gegebenen Winkel konstruieren, die ein gegebenes Zentrum 

 besitzt. 



13. Durch zwei Punkte kann man unendlich viele logarithmische 

 Spiralen mit einem gegebenen Zentrum konstruieren. 



