Kap. I. Ähnliche Punktsysteme auf einer Ebene. 101 



Wenn wir weiterhin von der Spirale mit einem gegebenen Zentrum 

 durch zwei Punkte sprechen werden, so wird stets die „steilste" Spirale 

 gemeint sein. 



Hierzu sei das Folgende erklärend bemerkt: 



Sind die gegebenen Punkte in Polar-Koordinaten mit q^, qy^ und q.^, (p^ 

 bezeichnet, dann können diese ebensogut aufgefaßt werden als Punkte q^^, 

 q\-^2s7i und Q2,(p^^2 1 n, worin s und / gleich 0, 1, 2, 3, 4, 5 

 usw. sind. 



Ist nun die Formel der Spirale: q = Ce^^, so muß: 

 Ol = Ce^^l"^ ± '^''''> und ^2 :.= C^^('?'2 ± 2 ^ ^) 

 sein, woraus sich ergibt: 



^ tg gl - 's g 2 ^ Jg gl - 'g Qi 



9^1 — '7'2 i (-^ — t) • 2 7t cpy — 9?2 dl 2 ^ ^ 



Setzt man hierm für k nacheinander 0, 1, 2, 3 .... usw. ein, so findet man 

 eine Serie Werte für q, mit denen man eine Spirale konstruieren kann, die 

 das gegebene Zentrum besitzt und durch die beiden gegebenen Punkte geht. 

 Der absolut genommene kleinste von allen diesen Werten für q muß 

 nach 8 der steilsten Spirale mit dem gegebenen Zentrum entsprechen, die durch 

 die beiden Punkte zu konstruieren ist. 



Der absolute Wert des Zählers des obengenannten Bruches ist 

 konstant, während der des Nenners durch k veränderlich ist. Man findet 

 also den absolut maximalen Wert von q, indem man den absoluten Wert 

 des Nenners so klein wie möglich macht. Es ist nun leicht einzusehen, 

 daß dieser Nenner ein Minimum für denjenigen Wert von k ist, für welchen 

 q}y — 9^2 i 2^J7; kleiner als Ji wird. (Dies ist natürlich nur für einen einzigen Wert 

 von k der Fall.) Die steilste Spirale durch zwei Punkte wird also 

 so verlaufen, daß die Leitstrahlen nach diesen beiden Punkten 

 einen Winkel einschließen, der kleiner ist als 180^. 



14. Die Länge des Teiles der steilsten logarithmischen Spirale, der zwischen 



Q'i — gl 

 zwei Punkten mit den Leitstrahlen p, und p., liegt, beträgt: 



cos /* 



15. Denkt man sich durch zwei Punkte alle möglichen logarithmischen 

 Spiralen mit demselben Zentrum gelegt, und mißt man bei allen diesen 

 Spiralen den Abstand der beiden Punkte die Spiralen entlang, dann ist der 

 Abstand die steilste Spirale entlang der kürzeste. 



§ 4. Zugeordnete Spiralen. Hauptspirale. Wir sahen, 

 daß eine logarithmische Spirale durch zwei Punkte des Systems 

 bestimmt ist und dadurch also auch die zugehörige Spiralen- 

 schar. Zwei andere Punkte bestimmen wieder eine andere Spiralen- 

 schar. Nun darf man aber nicht allgemein sagen, daß alle Schnitt- 

 punkte dieser beiden Scharen auch immer Punkte des Punktsystems 

 darstellen. 



Wir werden diejenigen logarithmischen Spiralen, welche die 

 Eigenschaft besitzen, daß die zugehörigen Scharen einander nur in 

 Punkten des Systems schneiden, zugeordnete logarithmische 

 Spiralen nennen. 



Die Scharen selbst werden wir als zugeordnete logarith- 

 mische Spiralscharen bezeichnen. 



