102 Zweiter Abschn. Einfache Systeme auf einer Ebene. 



Von der logarithmischen Spirale sind der Kreis und die gerade 

 Linie zwei besondere Fälle. Es kann also auch Punktsysteme 

 geben, worin Punktreihen auf geraden Linien, die vom Zentrum 

 ausgehen, oder auf konzentrischen Kreisen gelegen sind, natürlich 

 auch solche, bei denen beides gleichzeitig der Fall ist. 



Nehmen wir an, daß keine zwei Punkte auf demselben kon- 

 zentrischen Kreis gelegen sind, so ist einzusehen, daß eine Spirale 

 gezogen werden kann, die alle Punkte enthält. Wir werden sie 

 ,, Hauptspirale" nennen^). 



Um diese Spirale zu erhalten, denke man sich durch einen 

 beliebigen Punkt des Systems einen Kreis gezogen, dessen Mittel- 

 punkt mit dem Ursprung zusammenfällt. Man suche innerhalb dieses 

 Kreises denjenigen Punkt, der ihm am nächsten liegt. Durch den 

 erstgenannten Punkt und durch diesen denke man sich nun die 

 steilste logarithmische Spirale mit demselben Zentrum gezogen; 

 diese wird dann die Hauptspirale sein. Man sieht nämlich leicht 

 ein, daß diese Spirale auch durch denjenigen Punkt gehen muß, 

 welcher in nächster Nähe des konzentrischen Kreises liegt, der 

 durch den zweiten Punkt gezogen ist. Diese Spirale muß also 

 durch alle Punkte des Systems gehen. 



§ 5. Einteilung der ähnlichen Punktsysteme. Ohne 

 Mühe können wir nun bei diesen Punktsystemen folgende Fälle 

 unterscheiden: 



1. Alle Punkte sind auf einer geraden Linie geordnet, und zwar so, 

 daß die Abstände vom Ausgangspunkt eine geometrische Reihe bilden. 



2. Das System besteht aus einer Serie von Punkten, die auf einem 

 Kreise in untereinander gleichen Abständen geordnet sind. 



3. Alle Punkte sind auf einem Büschel von geraden Linien, die von 

 einem gemeinsamen Zentrum ausgehen und untereinander denselben Winkel 

 bilden, zu ordnen. Sie liegen darauf in Abständen vom Zentrum, die geo- 

 metrische Reihen bilden. (Systemes rectiseries.) 



4. Auf konzentrischen Kreisen liegt mehr als ein Punkt des Systems; 

 jedoch sind die Punkte nicht auf einem Büschel gerader Linien, die vom 

 Zentrum ausgehen, zu ordnen. („Systemes conjugues" der „systemes 

 curviseries".) 



5. Die Punkte liegen auf einem Büschel von geraden Linien und 

 außerdem liegen mehrere Punkte auf konzentrischen Kreisen. („Systemes 

 conjugues" der „systemes rectiseries".) 



6. Die Punkte liegen weder auf einem Büschel von Geraden, noch 

 liegen mehrere derselben auf ein und demselben konzentrischen Kreise. 

 (Systemes curviseries.) 



Einfacher für unseren Zweck ist wieder eine Einteilung in 

 Systeme, die eine einzige Hauptspirale und solche, welche keine 

 enthalten. Erstere werden wir wieder einfache, letztere mehr- 

 fache ähnliche Punktsysteme auf einer Ebene nennen. Fig. 21a 

 stellt ein einfaches, Fig. 21b ein mehrfaches (dreifaches), ähnliches 

 Punktsystem auf einer Ebene dar; es sind in beiden Figuren zwei 

 Scharen konjugierter «Spiralen angegeben und zwar in der Weise, 

 daß eine gewisse Übereinstimmung mit den regelmäßigen Punkt- 



1) In Wirklichkeit kann man unendlich viele Spiralen zeichnen, die diese 

 Eigenschaft besitzen; doch wird hier allein die steilste Spirale in Betracht gezogen. 



